第八讲期权二叉树定价模型

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1、第八讲二叉树模型8.1单步二叉树图8.1.1二叉树图的构造问题假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。假设股票三个月内不付红利。有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。如何对该期权进行估值？思路根据期权的特性，显然可以用图8-1所示的二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。是

2、否可有多种构造方法?由图8-1可知，当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。这样，该组合就是一个无风险组合。由22Δ—1=18Δ得Δ=0.25是否一定为正?因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头构成。通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。假设无风险利率为年率12％。则该组合的现值应为：4.5e-0.12×0.25=4.367

3、4股票现在的价格已知为$20。用f表示期权的价格。因此，由20×0.25－f=4.3674得f=0.633如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会。8.1.2一般结论考虑一个无红利支付的股票，股票价格为S。基于该股票的某个衍生证券的当前价格为f。假设当前时间为零时刻，衍生证券给出了在T时刻的盈亏状况。一个证券组合由Δ股的股票多头和一个衍生证券空头构成。如果股票价格上升,在有效期末该组合的价值为：如果股票价格下降，在有效期末该组合的价值为：当两个价值相等时即（9.1）该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。用r表示无风险利

4、率，该组合的现值应为：而构造该组合的成本是：因此将式（9.1）代入上式，得到其中（9.3）风险中性概率运用单步二叉树图方法，式（9.2）和（9.3）就可为衍生证券估值。8.1.3股票预期收益的无关性衍生证券定价公式（9.2）并没有用到股票上升和下降的概率。这似乎不符合人们的直觉，因为人们很自然地假设假设如果股票价格上升的概率增加，基于该股票的看涨期权价值也增加，看跌期权的价值则减少。之所以如此，原因在于，我们并不是在完全的条件下为期权估值，而只是根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在股票的价格中。它说明，当根据股票价格为期权估值时，我们不需要股票价格上涨下降的概率。

5、8.2风险中性估值8.2.1风险中性估值原理式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样，pfu+(1-p)fd就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值。同样，按照上式对p的解释，在T时刻预期的股票价格即将式（9.2）中的p代入上式，得E(ST)=SerT（9.4）这表明，平均来说，股票价格以无风险利率增长。因此，设定上升运动的概率等于p就是等价于假设股票收益等于无风险利率。我们把每一个人是风险中性的世界称为风险中性世界（risk-neutralworld）。在这样的世界中，投资者

6、对风险不要求补偿，所有证券的预期收高效益是无风险利率。式（9.4）说明，当设定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险中性世界。式（9.2）说明，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。以上过程表明，当为期权和其它衍生证券估值时，完全可以假设世界是风险中性的。这就是所谓风险中性（risk-neutralvaluation）原理。在风险中性世界中得到的价格，在现实世界中也是正确的。8.2.2风险中性估值举例我们将风险中性估值原理运用于图8-1的例子。在风险中性世界，股票的预期收益率一定等于无风险利率12％。则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25即4p=

7、20e0.12×0.25-18得p=0.6523在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价值为零的概率为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：0.6523×1+0.3477×0=$0.6523按无风险利率贴现得期权现在的价值：f=0.6523e-0.12×0.25=0.6338.3两步二叉树图8.3.1两步二叉树图的构造假设一种股票开始的价格为$20，并在图8-3所示的两步二叉树图的每个单步二