线性代数期末考试.试卷-+答案~合集

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1、

2、×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)1.若,则__________。2.若齐次线性方程组只有零解,则应满足。3.已知矩阵,满足,则与分别是阶矩阵。4.矩阵的行向量组线性。5.阶方阵满足,则。二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分)1.若行列式中每个元素都大于零,则。()2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。()3.向量组中,如果与对应的分量成比例,则向量组线性相关。()4.,则。()5.若为

3、可逆矩阵的特征值,则的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分)1.设为阶矩阵,且,则()。①②③④42.维向量组(3£s£n)线性无关的充要条件是()。①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其余向量线性表示③中任一个向量都不能用其余向量线性表示

4、④中不含零向量3.下列命题中正确的是()。①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4.设,均为n阶方阵,下面结论正确的是()。①若,均可

5、逆,则可逆②若,均可逆,则可逆③若可逆,则可逆④若可逆,则,均可逆5.若是线性方程组的基础解系,则是的()①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分,共63分)1.计算行列式。解·2.设,且求。解.,

6、3.设且矩阵满足关系式求。4.问取何值时,下列向量组线性相关?。5.为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解。①当且时,方程组有唯一解;②当时方程组无解③当时,有无穷多组解,通解为6.设求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性

7、表示。7.设,求的特征值及对应的特征向量。五、证明题(7分)若是阶方阵,且证明。其中为单位矩阵。

8、×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题1.52.3.4.相关5.二、判断正误1.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.

9、2.,3.4.当或时,向量组线性相关。5.①当且时,方程组有唯一解;②当时方程组无解

10、③当时,有无穷多组解,通解为6.则,其中构成极大无关组,7.特征值,对于λ1=1,,特征向量为五、证明题∴,∵一、选择题(本题共4小题,每小题4分,

11、满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设,为n阶方阵,满足等式,则必有()(A)或;(B);(C)或;(D)。

12、2、和均为阶矩阵,且,则必有()(A);(B);(C).(D)。3、设为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是()(A)的列向量线性无关;(B)的列向量线性相关;(C)的行向量线性无关;(D)的行向量线性相关.4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是()(A)的秩小于;(B);(C)的特征值都等于零;(D)的特征值都不等于零;二、填空题(本题共4小题,每题4分,满分16分)

13、5、若4阶矩阵的行列式,是A的伴随矩阵,则=。6、为阶矩阵,且,则。7、已知方程组无解,则。8、二次型是正定的,则的取值范围是。三、计算题(本题共2小题,每题8分,满分16分)9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题(本题共2小题,每小题8分,满分16分。写出证明过程)11、若向量组线性相关,向量组线性无关。证明:(1)能有线性表出;(2)不能由线性表出。

14、12、设是阶矩方阵,是阶单位矩阵,可逆,且。证明(1);(2)。五、解答题(本题共3小题,每小题12分,满分32分。解答应写出文字说明或演算

15、步骤)13、设,求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知,,是它的三个解向量,且,求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C;2、D;3、A;4、A。二、填空题5、-125;6、;7、-1;8、。三、计算题

16、9、解:第一行减第二行,第三行减第四行得:第二列减第一列,第四列减第三列得:(4分)按第一行展开得按第三列展开得。(4分)10、解:把各列加到第一列,然后提取第一列的公因子,再通过行列式的变换化为上三角形

17、行列式(4分)(4分)四、证明题11、证明:

18、(1)、因为线性无关,所以线性无关。,又线性相关,故能由线性表出。(4分),(2)、(反正法)若不,则能由线性表出,不妨设。由(1)知,能由线性表出,不妨设。所以,这表明线性相关,矛盾。12、证明(1)(4分)(2)由(1)得:,代入上式得(4分)五、解答题13、解:(1)由得的特征值为,,。(4分)(2)的特征向量为,

19、的特征向量为,的特征向量为。(3分)(3)因为特征值不相等,则正交。(2分)(4)将单位化得,,(2分)(5)取(6

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