数字信号处理时域离散信号和离散系统第三讲

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1、时域离散系统定义：将输入序列变换成输出序列的一种运算电路(用T[·]表示)。框图表示：时域离散系统时域离散系统中最重要、常用的是线性时不变系统。1离散时间系统的性质：齐次性：ax(n)ay(n)叠加性：x1(n)+x2(n)y1(n)+y2(n)线性性：a1x1(n)+a2x2(n)a1y1(n)+a2y2(n)时不变性：x(n-m)y(n-m)差分性：x(n)y(n)累加和性：21.线性系统定义:满足叠加原理(可加性与齐次性)的系统为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别为系统的输入序列,y1(n)和y2(

2、n)为对应输出那么线性系统必定满足下面公式(可加性与齐次性)(a1和a2为任意常数)3例:证明y(n)=ax(n)+b(a和b为常数),所代表的系统是非线性系统。证明此系统不满足叠加性,不是线性系统，原因是系统可能有初始储能（b）。4例:证明所代表的系统是线性系统。证则因此该系统既满足可加性，也满足比例性（齐次性），所以系统是线性系统。52.时不变系统定义:系统的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化。即输入序列移动任意位后,输出序列也相应移位,并且数值不变。用公式表示为:T［x(n)］=y(n)T［x(n-m)

3、］=y(n-m)（m为任意整数）本书主要讨论线性时不变时域离散系统6例:证明不是时不变系统证:由于二者不相等，故不是时不变系统比较输入(输出)序列移位后,是否还满足T［x(n-m)］=y(n-m)输入序列移动m位后的输出T［x(n-m)］:输出序列移动m位后的表示y(n-m):7例：检查y(n)=ax(n)+b(a,b为常数),代表的系统是否是时不变系统。二者相等，因此是时不变系统。解：比较输入(输出)序列移位后,是否还满足T［x(n-m)］=y(n-m)输入序列移运动m位后的输出T［x(n-m)］输出序列移运动m位后的表

4、示y(n-m):T［x(n-m)］=ax(n-m)+by(n-m)=ax(n-m)+b8例设y(n)=nx(n),试讨论此系统是否是时不变系统解：若要证明不是一个时不变系统，只要找一个反例就行.令因此系统不是时不变系统。结论：若系统有一个时变的增益，则此系统一定不是时不变系统。93线性时不变系统输入与输出之间的关系单位脉冲响应定义:输入为单位脉冲序列时系统的输出。即h(n)=T［δ(n)］(代表系统的时域特征)线性时不变系统的输入/输出关系可用h(n)来表征。同时具有线性和时不变的时域离散系统统称为线性时不变系统。103线

5、性时不变系统输入与输出之间的关系系统的输出y(n)可写为：设系统输入序列为x(n)，它可由δ(n)的移位加权和来表征：(x(m)为δ(n-m)的系数)11根据线性系统的叠加性质又根据时不变性质有系统输出上式表明,有了h(n)即可得到系统对任意输入的输出。因此12y(n)是由x(n)与h(n)的离散卷积获得，离散卷积也称为线性卷积、直接卷积、卷积,以“*”表示。线性时不变系统的框图可表示如下：13卷积的求解过程：离散卷积翻褶:将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示,并将h(m)翻转成h(-m)。移位:将h(-m)移位n

6、,得到h(n-m).n>0时,序列右移；反之左移。相乘:将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。相加:把以上所有对应点的乘积累加，得到y(n)值。依上法，取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部y(n)值。14图解过程：1516说明:序列的分解也是一个线性卷积公式式中表示序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身。推广:序列与移位的单位取样序列δ(n-n0)进行线性卷积，相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)。(仅当m=n-n0时,才可能有非零值)17例设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)

7、，求y(n)=x(n)*h(n)R4(m)的非零值区间为：0≤m≤3，R4(n-m)的非零值区间为：0≤n-m≤3解y(n)的非零值与矩形序列的非零值区间有关:其乘积值的非零区间，要求m同时满足上面两个不等式：0≤m≤30≤n-m≤3180≤m≤30≤n-m≤3为使y(n)为非零值,n取值范围应为:n为其它值时,y(n)=0结论:线性卷积后的序列长度为(N+M-1).(设两序列长度分为N和M)进一步分析后,得到如下()0≤n≤619n为其它值时,y(n)=0图解过程：204线性时不变系统的性质(1)交换律：证明：令n-m=

8、m′21(2)结合律物理意义两线性时不变系统系统级联后仍为线性时不变系统单位脉冲响应为两系统单位抽样响应的卷积(与级联次序无关)有相同单位抽样响应的三个LTI系统22(3)分配律物理意义系统并联的等效系统,其单位抽样响应等于两系统各自单位抽样响应之和。线性时不变系统的并联组合及其等效系统235因果系统(