线性代数讲义2

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1、第二章矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.§2.1矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1设有线性方程组这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1产品产值季度123451805875786429870858476390

2、759090804887082807631这个排成4行5列的产值阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3生产m种产品需用n种材料，如果以表示生产第种产品（）耗用第种材料（）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2材料定额产品这个由行列构成的消耗定额阵列描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义由个数排成行列的数表3

3、1　(2-1-1)叫做行列矩阵，简称矩阵.这个数叫做矩阵A的元素，叫做矩阵A的第行第列元素.一般情形下，用大写字母A，B，C，…表示矩阵.为了标明矩阵的行数和列数，可用表示，或记作.二、几种特殊的矩阵1．阶方阵当时，即A=时，A称为阶方阵.2．对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即3．单位矩阵主对角线上的元素都是1的阶对角矩阵称为单位矩阵，记为，如4．三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如31或5．零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作，简记O.6．行矩阵、列矩阵m=1时的矩阵，即称为行矩阵

4、；n=1时的矩阵，即称为列矩阵.7．对称矩阵在矩阵中，若则矩阵A称为对称矩阵，如31§2.2矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念.定义1在矩阵和中，若它们的对应元素相等，即则称矩阵A与B相等,记为A=B.定义2设，，矩阵称为矩阵A与矩阵B的和或差，记作A+B或A-B，即注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算.例1有两种物资（单位：吨）

5、从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B，则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为矩阵加法满足以下运算规律：（1）（2）（3）31矩阵称为矩阵的负矩阵，记为.显然，有（4）二、数与矩阵的乘法定义3以数乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数与矩阵A的积，记作.如果，那么不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律：(1)(2)(3)(4)(5)(为零矩阵)例2已知求3A-2B.解31例3已知且,求X..解三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4某工厂有三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.表2-3单位：吨

6、原料消耗量车间211516105301342432100又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4.31表2-4单位：元单价原料原料费加工费12514482.5203求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为车间的原料费=21×12+15×14+16×8+10×20=790（元）车间的原料费=53×12+0×14+13×8+4×20=820（元）车间的原料费=24×12+32×14+10×8+0×20=816（元）车间的加工费=21×5+15×4+16×2.5+10×3=235（元

7、）车间的加工费=53×5+0×4+13×2.5+4×3=309.5（元）车间的加工费=24×5+32×4+10×2.5+0×3=273（元）上述结果列成表2-5表2-5单位：元费用车间原料费加工费790235820309.5816273如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为31从上述分析可以看出，矩阵A、B与C之间的关系是：C中第行第列元素恰好等于A的第行各元素分别和矩阵B第列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C定义为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB,即我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法.定义

8、4设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则由元素构成的m行n列矩阵称为矩阵A与矩阵B的积，记为C=A·B或AB.这个定义说明，如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第行第列的元素，等于矩阵A的第行元素与矩阵B的第列对应元素乘积的和.并且矩阵C的行数等于矩阵