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1、第二章电力网络方程的求解技术在电力系统的分析计算中，暂态分析一般关注电压和电流，电力网络模型常为线性的节点电压方程；稳态分析一般关注功率和电压，其电力网络模型常为非线性潮流方程，而非线性潮流方程也必须通过求解线性的修正方程才能得到其解。所以，无论是电力系统稳态分析，还是暂态分析几乎都会涉及线性方程组的求解问题，而且线性方程组的求解往往是计算量最大的一部份工作。所以，研究线性方程组的求解技术对电力系统分析计算有重要的意义。线性方程组的解法可归纳为直接法和迭代法。从理论上来说，假定每一步运算过程中没有舍入误差，直接法经过有限次运算，最后得到方程组

2、的解就是精确解。但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏系数矩阵方程组的重要方法。迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代得到满足一定精度要求的方程组的近似解。在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的

3、。一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。对于高阶方程组和稀疏方程组，用迭代法可避免直接法带来的高舍入误差。计算机在电力系统应用的初期，曾经因为内存容量的限制采用过迭代法求解电力网络的线性方程式组。迭代法的致命缺点是存在收敛性问题。自从稀疏技术成功地在电力系统应用之后，迭代法几乎完全被所代替。但随着电力系统规模的快速扩大，使得直接法很难满足在线应用的要求，要求采用并行计算技术提高电力系统分析计算的速度。由于迭代法有较好的并行性，也许会再次得到

4、广泛的应用。由于电力网络结构的特点，在以导纳矩阵表示的电力网络方程中系数矩阵和常数矢量中非零元素非常少，这种情况下的矩阵和矢量是稀疏的。在与稀疏矩阵和稀疏矢量相关的运算中，有零元素参与的运算是没有必要进行的，对零元素的存储也是多余的。所以，可以采用“排零存储”、“排零运算”的办法，只存储稀疏矩阵和稀疏矢量中的非零元素及必要的检索信息，只取这些非零元素来进行运算，省去对零元素的存储和与零元素进行的运算，这样可以大大减少存储量，提高计算速度。这种作法用计算机程序来实现就是稀疏技术。它包括了稀疏矩阵技术和稀疏矢量技术两方面。和不采用稀疏技术相比，采

5、用稀疏技术可以加快计算速度几十甚至上百倍，而且对计算机的内存要求也可以大大降低。电力系统规模越大，使用稀疏技术带来的效益就越明显。可以说，稀疏技术的引入是对电力系统计算技术的一次革命，使许多原来不能做的电网计算可以很容易地实现。第一节线性方程组的迭代解法一、线性方程组的迭代解法的思路用迭代法求解线性方程组就是对方程组进行等价变换，构造同解方程组，以此构造迭代关系式（2-1）式中，称为迭代矩阵。任取初始矢量，代入式（2-1）中，经迭代计算得到解序列。若解序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限即，是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散

6、。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。迭代式（2-1）收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。可以证明迭代矩阵的谱半径（2-2）是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值，通常这是较为繁重的工作。可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的工作，其中，计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单。（向量的1范数等于向量元素绝对值之和，向量的范数范数等于向量元素绝对值的最大

7、值。矩阵的1范数等于矩阵列向量的1范数的最大值；矩阵的范数等于矩阵行向量的1范数的最大值。）（2-3）（2-4）式（2-3）、式（2-4）分别是矩阵1范数和范数的计算公式。可以证明，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列是收敛的。但要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，并视为方程组的近似解。一、雅可比（Jacobi）迭代法1、雅可比迭代格式设元线性方程组（2-5）其矩阵形式为。若将式（2-5）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到

8、下列同解方程组：记构造迭代形式或写成矩阵形式（2-6）式（2-6）称为雅可比迭代。令（2-8）（2-9）得雅克比迭代式的矩阵形式（2-10）式中，为雅克比迭代矩阵。