第二节+定积分在几何学上的应用

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1、第二节定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设函数及都在区间上连续，且，则由直线及曲线所围图形的面积为例1计算由两条抛物线：、所围成的图形的面积．解解方程组得及故这两条抛物线的交点为及所求的面积为设函数及都在区间上连续，且，则由直线及曲线所围图形的面积为例2计算抛物线与直线所围成的图形的面积．解解方程组得交点和所求图形的面积为例3求椭圆所围成的面积．解根据椭圆的对称性，所求的面积为利用椭圆的参数方程应用定积分的换元法，令则当由变到时，由变到，所以二、体积1.旋转体的体积设函数在区

2、间上连续，且，则由曲线及直线所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积为例6连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕轴旋转一周构成一个底半径为、高为的圆锥体．计算这圆锥体的体积．解过原点及点的直线方程为所求体积为例7计算椭圆所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．解这个旋转椭球体可以看成是由半个椭圆及轴围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体．所求的体积为习题6-21.求图中阴影部分的面积．解解方程组得交点坐标为和取为积分变量，所求的面积为解取为积分变量，所求

3、的面积为解解方程组得交点坐标为和取为积分变量，所求面积为解解方程组得交点坐标为和取为积分变量，所求面积为2.求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；解如图，先计算图形（阴影部分）的面积．容易求得抛物线与圆的交点为和取为积分变量，则图形的面积为（2）与直线及；解如图，易得曲线与直线的交点坐标为取为积分变量，所求的面积为（3）与直线；解如图，取为积分变量，所求的面积为（4）轴与直线解如图，取为积分变量，所求面积3.求抛物线及点和处的切线所围成的图形的面积．解先求得导数，故抛物线在

4、点处的切线分别为，容易求得这两条切线的交点为（如图）．取为积分变量，所求面积为