高数(上)第八单元课后习题答案8-6

高数(上)第八单元课后习题答案8-6

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1、习题8-61.求曲线x=t-sint,y=1-cost,在点处的切线及法平面方程.解x¢(t)=1-cost,y¢(t)=sint,.因为点所对应的参数为,故在点处的切向量为.因此在点处,切线方程为,法平面方程为,即.2.求曲线,,z=t2在对应于t=1的点处的切线及法平面方程.解,,z¢(t)=2t.在t=1所对应的点处,切向量,t=1所对应的点为,所以在t=1所对应的点处,切线方程为,即;法平面方程为,即2x-8y+16z-1=0.3.求曲线y2=2mx,z2=m-x在点(x0,y0,z0)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x,将

2、方程y2=2mx和z2=m-x的两边对x求导,得,,所以,.曲线在点(x0,y0,z0,)的切向量为,所求的切线方程为,法平面方程为.4.求曲线在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解设曲线的参数方程的参数为x,对x求导得,,即.解此方程组得,.因为,,所以.所求切线方程为,即;法平面方程为,即16x+9y-z-24=0.5.求出曲线x=t,y=t2,z=t3上的点,使在该点的切线平行于平面x+2y+z=4.解已知平面的法线向量为n=(1,2,1).因为x¢=1,y¢=2t,z¢=3t2,所以参数t对应的点处的切向量为T=(1,2t,3t2).又

3、因为切线与已知平面平行,所以T×n=0,即1+4t+3t2=0,解得t=-1,.于是所求点的坐标为(-1,1,-1)和.6.求曲面ez-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解令F(x,y,z)=ez-z+xy-3,则n=(Fx,Fy,Fz)

4、(2,1,0)=(y,x,ez-1)

5、(2,1,0)=(1,2,0),点(2,1,0)处的切平面方程为1×(x-2)+2(y-1)+0×(z-0)=0,即x+2y-4=0,法线方程为.7.求曲面ax2+by2+cz2=1在点(x0,y0,z0)处的切平面及法线方程.解令F(x,y,z)=ax2+

6、by2+cz2-1,则n=(Fx,Fy,Fz)=(2ax,2by,2cz)=(ax,by,cz).在点(x0,y0,z0)处,法向量为(ax0,by0,cz0),故切平面方程为ax0(x-x0)+by0(y-y0)+cz0(z-z0)=0,即,法线方程为.8.求椭球面x2+2y2+z2=1上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程.解设F(x,y,z)=x2+2y2+z2-1,则n=(Fx,Fy,Fz)=(2x,4y,2z)=2(x,2y,z).已知切平面的法向量为(1,-1,2).因为已知平面与所求切平面平行,所以,即,,代入椭球面方程得,解得,则

7、,.所以切点坐标为.所求切平面方程为,即.9.求旋转椭球面3x2+y2+z2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与xOy面的夹角的余弦.解xOy面的法向为n1=(0,0,1).令F(x,y,z)=3x2+y2+z2-16,则点(-1,-2,3)处的法向量为n2=(Fx,Fy,Fz)

8、(-1,-2,3)=(6x,2y,2z)

9、(-1,-2,3)=(-6,-4,6).点(-1,-2,3)处的切平面与xOy面的夹角的余弦为.10.试证曲面(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.证明设,则.在曲面上任取一点M(x0,y0,z0),则在点

10、M处的切平面方程为,即.化为截距式,得,所以截距之和为.

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