离散数学第四版课后答案(第5章)

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1、第5章习题解答5.1A:③;B:⑥;C:⑧;D:⑩;E:⑨分析S为n元集,那么有个元素.S上的一个二元运算就是函数.这样的函数有个.因此上的二元运算有个.下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法.1°交换律若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律.2°幂等律设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元素的排列也为则该运算满足幂等律.其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立.3°幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元

2、素所在的行和列的元素排列顺序也是则为幺元.4°零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元.5°幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上第个元素恰为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元.6°可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零元不是可逆元素.以

3、本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的,而不是可交换的.再看幂等律.四个运算表表头元素排列都是,其中主对角线元素排列为的只有,所以,遵从幂等律.下面考虑幺元.如果某元素所在的行和列元素的排列都是,该元素就是幺元.不难看出只有中的a满足这一要求,因此,a是的幺元,其他三个运算都不存在幺元.最后考虑零元.如果a所在的行和列元素都是a,那么a就是零元;同样的,若b所在的行和列元素都是b,那么b就是零元.检查这四个运算表,中的a满足要求,是零元,其他运算都没有零元.在的运算表中,尽管a和b的列都满足要求,但行不满足要

4、求.因而中也没有零元.5.2A:①;B:③;C:⑤;D:⑦;E:⑩分析对于用解析表达式定义的二元运算°和*,差别它们是否满足交换律,结合律,幂等律,分配律和吸收律的方法总结如下:任取,根据°运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立°运算就满足交换律.2°°运算的地合律任取根据°运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立,°运算就是可结合的.3°°运算的幂等律任取x,根据°运算的解析表达式验证等式是否成立.如果成立,°运算满足幂等律.4°°运算对*运算的分配律任取,根据°和*运算的解析表达式验证等式和是否成立。如果成立，则°运算

5、对*运算满足分配律。5°°和*运算的吸收律首先验证°和*运算是可交换的。然后任取根据°和*运算的解析表达式验证等式和是否成立。如果成立，则°和*运算满足吸收律。设°是用解析表达式定义的A上的二元运算，求解对于该运算的特导元素可以采用下述方法：1°求幺元e。根据幺元定义，应满足等式。将等式中的和用关于°运算的解析表达式代入并将结果化简，然后由x的任意性来确定2°求零元根据零元定义，应该满足等式。将等式中的和用关于°运算的解析表达式代入并将结果化简，然后由x的任意性确定3°求幂等元.将等式中的用关于°运算的解析表达式代入并化简单,然

6、后求解该议程,所得到的解就是幂等元.4°求可逆元素的逆元.任取,设x的逆元为y,则x与y应该满足等式将等式中的与用关于°运算的解析表达式代入,并将e用°运算的幺元代入,然后化简等式.观察使得该等式成产的x应该满足的条件,然后将y用含有x的公式表示出来,从而得到x的逆元.这里特别要说明一点,如果°运算不存在幺元则所有有元素都是不可逆的.以本题为例,具体的分析过程如下:任取,由可知一般情况下,所以运算不是可交换的.任取,由可知运算是可结合的.设运算的幺元为则有,,代入关于运算的解析表达式得从而得到由于是任意有理数,要使得上述四个等式

7、都成立,必有所以,运算的幺元为.对于任意的,设的逆元为,那么有代入关于运算的解析表达式得从而得到解得这说明对一切,只要都存在逆元.最后补充说明一点.不难验证,运算没有零元.而关于运算的幂等元是和,其中为任意有理数.5.3A:⑦;B:⑥;C:⑤;D:③;E:②分析怎样检验运算是否为S上的二元运算,或者说S是否关于运算封闭?主要是验证以下两个条件是否满足;1°任何S中的元素都可以作为参与运算的元素.2°运算的结果仍旧是S中的元素.如果给定了两个以上的运算,在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论.容易验证本题中的6个函数全是实数集R上的二

8、元运算.它们的可交换性,结合性,幺元和零元的判别结果如下.交换结合幺元零元√×√√√√√×√√√×为0×为1×××××为0×××5.4A:②;B:⑤;C:⑦;D:⑧;E:⑧分析对于给定的自然数是V的子代数,因为有这说明关于+和运算都是封闭的,满足子代数的定义.由