李凡长版 组合数学课后习题答案 习题2

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1、第二章容斥原理与鸽巢原理1、1到10000之间(不含两端)不能被4,5和7整除的整数有多少个?解令A={1,2,3,…,10000},则

2、A

3、=10000.记A1、A2、A3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合,则有:

4、A1

5、=L10000/4」=2500,

6、A2

7、=L10000/5」=2000,

8、A3

9、=L10000/7」=1428,于是A1∩A2表示A中能被4和5整除的数,即能被20整除的数,其个数为

10、A1∩A2

11、=L10000/20」=500;同理,

12、A1∩A3

13、=L10000/28」=357,

14、A2∩A3

15、=L10000/35」=285,A1∩A2∩A3表示

16、A中能同时被4,5,7整除的数,即A中能被4,5,7的最小公倍数lcm(4,5,6)=140整除的数,其个数为

17、A1∩A2∩A3

18、=L10000/140」=71.由容斥原理知,A中不能被4,5,7整除的整数个数为=

19、A

20、-(

21、A1

22、+

23、A2

24、+

25、A3

26、)+(

27、A1∩A2

28、+

29、A1∩A3

30、+

31、A3∩A2

32、)-

33、A1∩A2∩A3

34、=51432、1到10000之间(不含两端)不能被4或5或7整除的整数有多少个?解令A={1,2,3,…,10000},记A1、A2、A3分别为在1与1000之间能被4,5和7整除的整数集合,A中不能被4,5,7整除的整数个数为=

35、A

36、--2=10000-L1

37、0000/140」-2=99273、1到10000之间(不含两端)能被4和5整除,但不能被7整除的整数有多少个?解令A1表示在1与10000之间能被4和5整除的整数集,A2表示4和5整除,也能被7整除的整数集。则:

38、A1

39、=L10000/20」=500,

40、A2

41、=L10000/140」=71,所以1与10000之间能被4和5整除但不能被7整除的整数的个数为:500-71=429。4、计算集合{2·a,3·b,2·c,4·d}的5组合数.解令S∞={∞·a,∞·b,∞·c,∞·d},则S的5组合数为=56设集合A是S∞的5组合全体,则

42、A

43、=56,现在要求在5组合中的a的个数小于等于

44、2,b的个数小于等于3,c的个数小于等于2,d的个数小于等于4的组合数.定义性质集合P={P1,P2,P3,P4},其中:P1:5组合中a的个数大于等于3;P2:5组合中b的个数大于等于4;P3:5组合中c的个数大于等于3;P4:5组合中d的个数大于等于5.将满足性质Pi的5组合全体记为Ai(1≤i≤4).那么,A1中的元素可以看作是由S∞的5-3=2组合再拼上3个a构成的,所以

45、A1

46、==10.16类似地,有

47、A2

48、==4.

49、A3

50、==10.

51、A1

52、==1.

53、A1∩A2

54、==0.

55、A1∩A3

56、=

57、A1∩A4

58、=

59、A2∩A4

60、=

61、A2∩A3

62、=

63、A3∩A4

64、=

65、A1∩A2∩A4

66、=

67、

68、A1∩A2∩A3

69、=

70、A3∩A2∩A4

71、=

72、A1∩A2∩A3∩A4

73、=0而a的个数小于等于2,b的个数小于等于3,c的个数小于等于2,d的个数小于等于4的5组合全体为,由容斥原理知,它的元素个数为56-(10+4+10+1)-(0+0+0+0+0+0)+(0+0+0)-0=31。1、计算{∞·a,3·b,10·c}的10组合数.解令S∞={∞·a,∞·b,∞·c},则S的10组合数为=66设集合A是S∞的10组合全体,则

74、A

75、=66,现在要求在10组合中的b的个数小于等于3,c的个数小于等于10的组合数.定义性质集合P={P1,P2},其中:P1:10组合中b的个数大于等于4;P

76、2:10组合中c的个数大于等于11;将满足性质Pi的10组合全体记为Ai(1≤i≤4).那么,

77、A1

78、==28.类似地,有

79、A2

80、==0.

81、A1∩A2

82、==0.故由容斥原理知,所求组合数为66-(28+0)-0=38。2、求集合{a·x,b·y,c·z}的m组合数(a,b,c全非无穷大).解用上面的方法可以得出该集合的m组合数为:3、某班学生25人可以选修二外,其中有14人选修日语,12人选修法语,5人选修日语和德语,6人选修法语和日语,2人选修这3种语言,而且6个选修德语的都选了另一种外语(这3种内的一种)。问有多少人没有选修二外?解设选修日语,法语,德语的学生集合分别为J,F,

83、G,则

84、J

85、=14,

86、F

87、=12,

88、G

89、=6,

90、F∩J

91、=6,

92、G∩J

93、=5,

94、F∩J∩G

95、=2,

96、F∩G

97、=6-5+2=3。故没有选修的人数为:=25–(12+14+6)+(6+5+3)–2=5。4、1到120的整数中有多少质数?多少合数?解先求合数的个数。设a为合数,p为a的最小质因子,则p≤。由于<11,故不超过120的合数必定是2,3,5,7的倍数。16根据容斥原理可得,合数的个数为89,质数为119-89=30。1、求方程x1+x2+x3=10的大于2的整数

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