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《李凡长版 组合数学课后习题答案 习题5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章Pólya计数理论1.计算（123）（234）（5）（14）（23）,并指出它的共轭类.解：题中出现了5个不同的元素：分别是：1，2，3，4，5。即
2、Sn
3、＝5。（5）（12）（34）的置换的型为1122而Sn中属于1122型的元素个数为个其共轭类为（5）（14）（23），（5）（13）（24），（1）（23）（45），（1）（24）（35），（1）（25）（34），（2）（13）（45），（2）（14）（35），（2）（15）（34），（3）（12）（45），（3）（14）（25），（3）（15）（24），（4）（12）（35），（4）（13）（25），（4）
4、（15）（24）2.设D是n元集合,G是D上的置换群.对于D的子集A和B,如果存在,使得,则称A与B是等价的.求G的等价类的个数.解：根据Burnside引理，其中c1(ai)表示在置换ai作用下保持不变的元素个数，则有c1(σI)=n;设在σ的作用下，A的元素在B中的个数为i，则c2(σ)=n－2i；若没有其他置换，则G诱出来的等价类个数为l=3.由0,1,6,8,9组成的n位数,如果把一个数调转过来读得到另一个数,则称这两个数是相等的.例如,0168和8910,0890与0680是相等的.问不相等的n位数有多少个？解：该题可理解为相当于n位数，0，1，6，8，9这
5、5个数存在一定的置换关系40对于置换群G={g1,g2}g1为不动点置换，型为1n；为5n；g2置换：（1n）(2(n-1))(3(n-2))…()分为2种情况：（1）n为奇数时，但是只有中间的数字是0，1，8的时候，才可能调转过来的时候是相同的，所以这里的剩下的中间数字只能是有3种。即：个数为3×（2）n为偶数时，个数为该置换群的轮换指标为n为偶数时，等价类的个数l=n为奇数时，等价类的个数l=2.现有8个人计划去访问3个城市,其中有3个人是一家,另外有2个人是一家.如果一家人必须去同一个城市,问有多少种方案？写出它们的模式.解：令D={d1,d2,…,d8}，其中
6、，d1,d2,d3为一家，d4,d5为一家。R={c1,c2,c3},w(c1)=α,w(c2)=β,w(c3)=γ.f:D→R是一种安排方案。根据题意，做D的一个5分划{d1,d2,d3},{d4,d5},{d6},{d7},d8},要求f在每块中的元素取值相同。对于{d1,d2,d3}，可以取α3＋β3＋γ3模式；对于{d4,d5}，可以取α2＋β2＋γ2模式；对于{d6},{d7},{d8}，可以取α＋β＋γ模式.所以，总的模式为（α3＋β3＋γ3）（α2＋β2＋γ2）（α＋β＋γ）33.对正立方体6个面用红、蓝、绿3种颜色进行着色,问有多少种不同的方案？又问3
7、种颜色各出现2次的着色方案有多少种？解：正立方体6个面的置换群G有24个元素，它们是：（1）不动的置换，型为16，有一个；（2）绕相对两面中心轴旋转90°，270°的置换，型为1241，有6个；旋转180°的置换，型为1222，有3个；（3）绕相对两顶点连线旋转120°，240°的置换，型为32，有8个；（4）绕相对两边中点连线旋转180°的置换，型为23，有6个。所以，该置换群的轮换指标为PG（x1,x2,…,x6）=等价类的个数为40l=PG(3,3,…,3)==57下面计算全部着色模式。这里，R={c1,c2,c3}，w(c1)=r，w(c2)=b，w(c3)=
8、g，于是F的全部模式表其中，红色、蓝色、绿色各出现2次的方案数就是上述展开式中r2b2g2项的系数，即1.有一个3×3的正方形棋盘,若用红蓝两色对这9个方格进行着色,要求两个位红色,其余为蓝色,问有多少种方案？解：其置换群为：不动置换：型为19，1个沿中间格子及其对角线方向做旋转的置换：型为1323，4个旋转90°和240°时的置换：型为1142，2个旋转180°时的置换型为1124，1个P(x)=我们设定x为红色，1为蓝色，即转化为求x2的系数（1）对应于19，（1＋x）9中x2项系数为C(9,2)=36；（2）对应于1323，4(1＋x)3(1+x2)3中x2项系
9、数为：4[C(3,2)C(3,0)+C(3,0)C(3,1)]=24；（3）对应于11422(1+x)(1+x4)2中x2项系数为0；（4）对应于1124(1+x)(1+x2)4中x2项系数为C(4,1)=4；故x2的系数为2.对正六角形的6个顶点用5种颜色进行着色.试问有多少种不同的方案,旋转使之重合作为相同处理.解：对该正六角形的6的顶点的置换群有12个，它们分别是：(1)不动点置换，型为16，有1个；(2)旋转60°和300°的置换，型为61，有2个；旋转120°和240°的置换，型为32，有2个；旋转180°的置换型为23有1个；(3)绕对角
