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1、第一章参考答案（1）5,4,1,5.（2）100=22*52,3288=23*3*137.（4）a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr,b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a,b没有公共(相同)素因子.同样可以将an,bn表示为多个素因子相乘an=(p1p2––pr)n,bn=(q1q2––qs)n明显an,bn也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr,b=q1q2––qs,an=(p1p2––pr)n,bn=(q1q2––
2、qs)n,因为an
3、bn所以对任意的i有,pi的n次方
4、bn,所以bn中必然含有a的所有素因子,所以b中必然含有a的所有素因子,所以a
5、b.（6）因为非零a,b,c互素,所以(a,b)=(a,c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs,ab=p1p2––prq1q2––qs,又因为a,b,c互素,所以a,b,c中没有公共(相同)素因子,明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab,c)=(a,b)(a,c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,4
6、1,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(modm),1001=0(modm),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数,为7和1.（12）(70!)/(61!)=62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod7
7、1).明显61!与71互素,所以两边同乘以61!,所以70!=61!(mod71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod3),两边同时加上1有2n+1=0(mod3),所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod3),两边同时加上1有2n+1=2(mod3),所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d,m/d为整数.假设ac=k1m+r,bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r,bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(modm/d),因为(c,m/d)=1
8、,所以两边可以同除以一个c,所以结论成立.第二个问题：因为a=b(modm),所以a-b=ki*mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi公倍数，所以[mi]
9、a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数,是错误的,该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加,和能被3整除则整数能被3整除,和能被9整除则整数能被9整除,(1)能被3整除,不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x,假设存在一个元素a满足方程x
10、2=x,则有a2=a,两边同乘以a-1有a=e.所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e,所以对群中任意元素a,b有aa=e,bb=e,(ab)2=abab=e.对abab=e,方程两边左乘以a,右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab,有ab=ba,所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb,方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元,有a-1ababb-1=a-1aabb
11、b-1,有ab=ba,所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群,所以对任意元素a,b有ab=ba,方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb,有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。（9）证明：对群中任意元素a,b有ab(ab)-1=e,方程两边先左乘以a的逆元有b(ab)-1=a-1,在左乘以b的逆元有(ab)-1=b-1a-1,所以结论成立.（13）证明：设群G
12、的两个子群为G1,G2,则对任意a,b∈G1∩G2有ab-1∈G1,ab-1∈G2,所以ab-1∈G1∩G2,所以G1∩G2也是G的子群.（14）证明：设G是一个群,对任意a,b∈G,存在一个G到H的映射f,并且f(ab)=f(a)f(b).对任意f(a),f(b)∈H有f(a)f(b)=f(ab)∈H,所以H满足运算的封闭性.对任意f(a),f(b),f(c)有(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c),f(a)(f(b)f(c))=f(a)
