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1、第5章图论与网络分析图的基本概念网络分析最小支撑树问题最短路径问题网络最大流问题ABCDACBD图论起源：哥尼斯堡七桥问题问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？结论：每个结点关联的边数均为偶数§1图的基本概念由点和边组成，记作G=(V，E)，其中V=(v1，v2，……，vn)为结点的集合，E=(e1，e2，……，em)为边的集合。点表示研究对象边表示研究对象之间的特定关系1.图p114图无向图，记作G=(V，E)有向图，记作D=(V，A)例1：哥尼斯堡桥问题的图为
2、一个无向图。有向图的边称为弧。例2：五个球队的比赛情况，v1v2表示v1胜v2。v1v2v3v4v52、图的分类v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例图1v4v6v1v2v3v5V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，A={(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)}图2v1v2v3v4v53、链与路、圈与回路链点边交错的序列圈起点=终点的链路点弧交错的序列回路起点=终点的路v1v2v3v4v5
3、无向图：有向图：链与路中的点均不相同，则称为初等链(路)类似可定义初等圈（回路）4、连通图任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图，否则称为不连通图。G1G2G1为不连通图，G2为连通图例：5、支撑子图图G=(V，E)和G'=(V'，E')，若V=V'且E'E，则称G'为G的支撑子图。G2为G1的支撑子图v1v2v3v4v5G1v1v2v3v4v5G2例：G2是G1的子图；v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(
4、c)例：6、赋权图（网络）图的每条边都有一个表示一定实际含义的权数，称为赋权图。记作D=(V，A，C)。55.5v1v2v3v4v53.57.5423例：§2最小支撑树问题本节主要内容：树支撑树最小支撑树[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531树：无圈的连通图，记为T。一、树的概念与性质树的性质：（1）
5、树的任2点间有且仅有1链；（2）在树中任去掉1边，则不连通；故树是使图保持连通且具有最少边数的一种图形（3）在树中不相邻2点间添1边，恰成1圈；（4）若树T有m个顶点，则T有m-1条边。(A)(B)(C)若一个图G=（V,E）的支撑子图T=（V,E´）构成树，则称T为G的支撑树，又称生成树。二、图的支撑树(G)(G1)(G2)(G3)(G4)例[例]某地新建5处居民点，拟修道路连接5处，经勘测其道路可铺成如图所示。为使5处居民点都有道路相连，问至少要铺几条路？解：该问题实为求图的支撑树问题，共需铺4条路。v1v
6、2v3v4v5图的支撑树的应用举例v1v2v3v4v555.53.57.5423用破圈法求出下图的一个生成树。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8最小支撑树：求网络的支撑树，使其权和最小。三、最小支撑树问题算法1（破圈法）：①在给定的赋权的连通图上找一个圈；②在所找的圈中去掉一条权数最大的边(若有两条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条)：③若所余下的图已不含圈，则计算结束，所余下的图即为最小支
7、撑树，否则，返问①。55.5v1v2v3v4v53.57.5423[例]求上例中的最小支撑树解：55.5v1v2v3v4v53.57.542355.5v1v2v3v4v53.57.54233v12v4v545v23.5v3算法2（避圈法）：从某一点开始，把边按权从小到大依次添入图中，若出现圈，则删去其中最大边，直至填满n-1条边为止（n为结点数）。最小生成树举例：某六个城市之间的道路网如图所示，要求沿着已知长度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v
8、4v5v6v2v31234v1v2v3v4v514231352[联系]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。3.5ABCDEFGHIJKS2222225452634531[练习]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各用户所在位置如图所示
