2018年人教版高中数学必修四第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案

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1、2018年新人教A版高中数学必修4导学案2.3.4　平面向量共线的坐标表示学习目标　1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.知识点　平面向量共线的坐标表示已知下列几组向量：(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；(4)a＝(，1)，b＝(－，－1).思考1　上面几组向量中，a，b有什么关系？答案　(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.思考2　以上几组向量中，a

2、，b共线吗？答案　共线.思考3　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？答案　坐标不为0时成正比例.思考4　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答案　能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.梳理　(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0102018年新人教A版高中数学必修4导学案)共线.注意：对于(2)的形式极易

3、写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.类型一　向量共线的判定与证明例1　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)B.a＝(2，3)，b＝(3，2)C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)答案　D解析　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(

4、－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故选D.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解　＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6).方法一　∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，∴与共线且方向相反.方法二　∵＝－2，∴与共线且方向相反.反思与感悟　此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练1　已知A，B

5、，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，＝，＝，求证：∥.证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2).102018年新人教A版高中数学必修4导学案∵＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，∴＝＝(，)，＝＝(－，1).∴(x1，y1)－(－1，0)＝(，)，(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)，∴(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0).∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－).∵4×(－)－(－1)×＝0，∴∥.类型二　利用向量共线求参数例2　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为

6、何值时，ka＋b与a－3b平行？解　方法一　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b).由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4).得解得k＝λ＝－.方法二　由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.引申探究1.若例2条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？解　由例

7、2知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向.102018年新人教A版高中数学必修4导学案2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？解　a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)，∵a＋kb与3a－b平行，∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，解得k＝－.反思与感悟　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λ

8、b(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.跟踪训练2　设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.答案　2解析　λa＋b＝λ(1，