名校真题精讲(共7讲)_第06讲_计数与组合专题-学生版.doc

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1、第6讲计数与组合专题一、计数问题1、枚举法枚举法就是把所有可能得情况一一列举出来，然后数一下总共有几种情况．2、加乘原理（1）加法原理——分类如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．（2）乘法原理——分步如果完成一件事有几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．3、排列组合（1）排列从m个不同元素中取出n个（），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m个不同元素中取出n个的排列数，记作.其计算方法为：即从m开始递减地连乘n个数(2)组合从m个不同元素中取出n个（）组成

2、一组（不计顺序），其方法数叫做从m个不同元素中取出n个不同的组合数，记作.其计算方法为：134、分类法与排除法（1）分类法：分来法解决问题的基本思想是通过分类拆解把一个复杂问题转化成几个相对简单的小问题来解决．（2）排除法：当题目中满足要求的情况较多，分类法不好解决时，可以尝试用排除法，把不符合要求的情况去掉，剩下的就是符合的．5、容斥原理（1）理解简单容斥原理（两个之间的重叠）与复杂容斥原理（三个之间的重叠）（2）用文氏图帮助解题6、递推方法（1）上楼梯模型（2）传球法——列表写出每一步中具体的方法数（3）几何图形分平面——增量分析7、插板法用于求解“把m个相同的

3、球放到n个不同的盒子中”这类问题（1）注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．（2）如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为（把n-1个板插到m-1个空隙中）（3）如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为（先借n个球，然后按照每个盒子至少1个去放，最后从每个盒子中拿出1个还回去）（4）方程的正整数解共组（把n个球放到3个盒子中，每个盒子至少1个）（5）方程的自然数解共组（把n个球放到3个盒子中，每个盒子可以为空）8、与旋转、翻转相关的计数这类问题要想清楚是否有重复，重复了多少．一般求解时，要先固定一些对象，使其不能旋转或翻转．一、统筹规划1、安排工序问题132、最短路

4、线或最短时间问题3、排队等候问题4、集合问题5、货物调度问题一、游戏对策（1）必胜策略往往是考虑“如何让对方输”，即必胜方行动时如何进行一次适当操作，把必输状态留给对方．（2）游戏对策中往往会利用对称性来解决问题，如桌子上放硬币问题（轮流在圆桌上放硬币，到谁放的时候放不下了他就输了．先手方把第一个硬币用来占领圆桌中心点即可，之后后手方再怎么放，先手方都能在桌上找到一个对称的空位点可以放置硬币）二、逻辑推理解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法．一般可以从以下几方面考虑：1.选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；2.根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可

5、能的情况，从而得出要求的结论；3.对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设正确；4.遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析．常见题型：去伪存真题：有人说真话有人说假话，有人说真话；或每人说的一部分对，一部分错．注意适当选择假设等方法帮助解题．条件分析题：用列表或作图的方法，对条件进行归纳整理．体育比赛类问题：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局．例如：若是2分赛制，则获胜队2分，平局各1分，失败不得分，那么总得分为“”；而3分赛制时，获胜队得3分，平局各得1分，失

6、败不得分．那么此时总分为“”三、抽屉原理1、最不利原则132、抽屉原理一、最值问题常用结论：（1）两数和一定，差越小，积越大（2）当几个数和一定是，越接近乘积越大（3）两点之间线段最短（4）在周长一定的封闭图形中，圆的面积最大；在面积一定的封闭图形中，圆的周长最小二、构造论证1、构造往往用于说明“能”，即给出可能情况；论证往往用于说明“否”，即为什么不行2、常见题型：（1）构造或论证：这类题目中通常会以“能否”等词汇发问．解答时，如果是“能”，就要构造出可行情况；如果是答“不能”，要论证为什么．（2）构造与论证：常见于求最值的问题，以求最大值问题，得出最大值后要先论

7、证不能得更大的值了，然后构造最大值对应的可行情况，说明这个最大值可以达到．一、枚举法例1.在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有______个．二、加乘原理与排列组合例2.将1、2、3、4、5这五个数字填入下面的五个方格中，使得阴影方格中填入的数大于相邻方格中的数，共有_____种填法．13例1.用0、1、2、3、4这五个数字能组成______个没有重复数字的四位偶数．例2.从1~9选出7个数字分别填入图中7个圆圈中，使得每条线段两端点处所填的数，上面比下面的大，那么符合要求的共_______种．三、容斥原理例3.如图，数一数，图中共有多少个长方体？四、概率