复变函数与积分变换 复变函数与积分变换重点公式归纳

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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换重点公式归纳导读：就爱阅读网友为您分享以下“复变函数与积分变换重点公式归纳”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数一、复变数和复变函数w?f?z??u?x,y??iv?x,y?二、复变函数的极限与连续21极限limf(z)?A连续limf(z)?f(z0)z?z0z?z0第二章解析函数一、复变函数w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)可导与解析的概念。二、柯西——黎曼方程??ux?vy掌握利用C-R方程?判别复变函数的可导性

2、与解析性。??uy??vx掌握复变函数的导数：f'(z)??f1?f?ux?ivx???iuy?vy?xi?y?ux?iuy????ivx?vy三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。1、幂函数与根式函数21w?zn?rn(cos??isin?)n?rn(cosn??isinn?)?rnein?单值函数w?z?re1argz?2k?innz(k=0、1、2、…、n-1)n多值函数x2、指数函数：w?e?e(cosy?isiny)性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，(e)'?e（3）以2?i

3、为周期3、对数函数zzw?Lnz?lnz?i(argz?2k?)?lnz?i2k?（k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:(lnz)'k?1。zkeiz?e?izeiz?e?iz4、三角函数：cosz?sinz?22i21性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数w?Arcsinz?1Ln(iz??z2)i反余弦函数w?Arccosz?1Ln(z?z2?1)is[lnz?(2k??argz)i]性质与对数

4、函数的性质相同。ssLnzz?e?e6、一般幂函数：（k=0、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1)调和函数:?u(x,y)?02)已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）21有三种方法：a）全微分法b）利用C-R方程c）不定积分法第三章解析函数的积分一、复变函数的积分2?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy存在的条件。lll二、复变函数积分的计算方法1、沿路径积分：?f?z?dz利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。c2、闭路积分：a)f?z?dz利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。cb)[

5、u(x,y)?iv(x,y)]dz利用参数积分方法c三、柯西积分定理：21f?z?dz?0c推论1：积分与路径无关?f?z?dz??cz2z1f(z)dz推论2：利用原函数计算积分?z2z1f(z)dz?F(z2)?F(z1)推论3：二连通区域上的柯西定理f?z?dz?f?z?dzc1c2推论4：复连通区域上的柯西定理f?z?dz??f?z?dzck?1ckn1f???四、柯西积分公式：f(z)??2?ic??z??z?z?2?if?z?21c00f?z?五、高阶导数公式：f(n)(z)?n!f????n?1c2?i(??

6、z)解析函数的两个重要性质：?解析函数f?z?在任一点z的值可以通过函数沿包围点z的任一简单闭合回路的积分表示。?解析函数有任意阶导数。本章重点：掌握复变函数积分的计算方法沿路径积分闭路积分第四章解析函数的级数一、幂级数及收敛半径：??f?z?dz1）利用参数法积分2）利用原函数计算积分。cf?z?dz21利用留数定理计算积分。c?a(z?b)nn?0n1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数f(z)是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：f'?z???nan?z?b?z

7、?b?Rnn?1??z0f?z?dz???an?z?b?dz??nn?0l?zann?1zz?b?Rn?1n?0?2、收敛半径的计算方法1）比值法：R?liman/an?1n??212）根值法：R?1/limnann??二、泰勒（Taylor）级数1、如函数f(z)在圆域z?b?R内解析，那么在此圆域内f(z)可以展开成Taylor级数f(z)??an(z?b)??nn?0n?0??fn?b??z?b?nn!1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。2)收敛半径是展开点到f(z)的所有奇

8、点的最短距离。fn?b?3）展开式的系数可以微分计算：an?n!4）解析函数可以用Taylor级数表示。212、记住一些重要的泰勒级数：??1znzn1）??z2）e??1?zn?0n?0n!?3）sinz??(2n?1)!zn?0??1?n(2n?1)4）cosz??(2n)!n?0???1?nz2n