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《量子力学导论作业答案-第02章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.2由此得a=2E/mω，（2）x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a122222∫p⋅dx=2∫2m(E−mωx)dx=2mω∫a−xdx2−a−a2π2=2mωa⋅=mωπa=nh22nh2=n得a==（3）mωπmω代入（2），解出E=n=ω,n=1,2,3,"（4）n222u22au积分公式：∫a−udu=a−u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。2π2提示：利用∫pϕdϕ=nh,n=1,2,",pϕ是平面转子的角动量。转子的能量E=pϕ/2I。0解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。.它的角动量p=I
2、ϕ（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件ϕϕ2π∫pdϕ=2πp=mh,m=1,2,3,"ϕϕ0waterysun∴p=mh，ϕ222因而平面转子的能量E=p/2I=m=/2I，m=1,2,3,"mϕ第二章波函数与Schrödinger方程K2.1设质量为m的粒子在势V(r)中运动。3（a）证明粒子的能量平ਛ值为E=⋅∫drω，2=**ω=∇+ψψψψV（能量密度）2m∂ωK（b）证明能量守恒公式+∇⋅=s0∂t2*K=⎛∂ψ∂ψ*⎞s=−⎜∇ψ+∇ψ⎟（能流密度）⎜⎟2m⎝∂t∂t⎠证：（a）粒子的能量平ਛ值为（设ψ已归一化）2似水骄阳2*⎛=2⎞3E=∫
3、ψ⎜⎜−∇+V⎟⎟ψdr=T+V（1）⎝2m⎠3*V=∫drψVψ（势能平均值）（2）23*⎛=2⎞T=∫drψ⎜⎜−∇⎟⎟ψ(动能平均值)⎝2m⎠2=∫3[]()*()*()=−dr∇⋅ψ∇ψ−∇ψ⋅∇ψ2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2=3*T=∫dr∇ψ⋅∇ψ（3）2m2=**结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度ω=∇⋅ψψψψ∇+V,（4）2m3且能量平均值E=∫dr⋅ω。（b）由（4）式，得2⎡⎤∂∂ωψ=∇⋅=⎢⎥∗∇ψψ+∇⋅**∇+∂ψ∂ψ∗∂VVψψ+ψ∂⎢tmt2∂∂tt⎥∂∂t⎣⎦=2⎡⎤⎛⎞∂
4、∗ψwaterysun∂ψψψψψ⎛⎞∂∗∂∂∗∂=∇⎢⎥⋅∇⎜⎟ψψ+∇−∇+∇+*2⎜⎟ψψ2*VVψ+ψ*2mtt⎢⎥⎜⎟∂∂⎜⎟∂∂tt∂t∂t⎣⎦⎝⎠⎝⎠22K∂∗ψψ⎛⎞==22∂⎛⎞*=−∇⋅+sVV⎜⎟−∇+ψψ+⎜⎟−∇+∂∂tm⎝⎠22tm⎝⎠⎛⎞K⎜⎟∂∗∂ψψ*=−∇⋅+sEψ+ψ⎜⎟∂∂tt⎝⎠K∂=−∇⋅s+Eρ（ρ：几率密度）∂tK=−∇⋅s（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）∂ωK所以+∇⋅=s0。∂t2.2考虑单粒子的Schrödinger方程2∂()K=2()()K[]K()K()Ki=ψr,t=−∇ψr,t+Vr+iVrψ
5、r,t（1）12∂t2mV与V为实函数。123似水骄阳（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为d3*=**K2V23*∫∫∫drψψ=−∫∫()ψ∇ψ−ψ∇ψ⋅dS+∫∫∫drψψdt2im=τSτ证：（a）式（1）取复共轭，得2∂*=2**−i=ψ=−∇ψ+()V−iVψ（2）12∂t2m*ψ×（1）-ψ×（2）,得2∂()*=()*22**i=ψψ=−ψ∇ψ−ψ∇ψ+2iψVψ2∂t2m2=()***=−∇⋅ψ∇ψ−ψ∇ψ+2iVψψ22m∂()*=()**2V2()*∴ψψ=−∇⋅ψ∇ψ−ψ∇ψ+ψψ（3）∂t
6、2im=∂ρK2V2即+∇⋅j=ρ≠0，∂t=此即几率不守恒的微分表达式。（b）式（3）对空间体积τ积分，得waterysun∂3*=**323*dr()ψψ=−∇⋅()ψ∇ψ−ψ∇ψdr+drV(ψψ)∫∫∫∫∫∫∫∫∫2∂t2im=τττ=K2()**3*=−ψ∇ψ−ψ∇ψ⋅dS+drVψψ∫∫∫∫∫22im=SτKK上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积τ的几率（=−∫∫j⋅dS），而第二项代表体积τ中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。2.3设ψ和ψ是Schrödinger方程的两个解，证明12d3*()()KKdrψr,tψr,
7、t=0。∫12dt2∂ψ1⎛=2⎞证：∵i==⎜−∇+V⎟ψ（1）⎜⎟1∂t⎝2m⎠2∂ψ2⎛=2⎞i==⎜−∇+V⎟ψ（2）⎜⎟2∂t⎝2m⎠*2∂ψ1⎛=2⎞*取（1）之复共轭：−i==⎜−∇+V⎟ψ（3）⎜⎟1∂t⎝2m⎠4似水骄阳2*∂*=2**2ψ×（3）−ψ×（2）,得−i=()ψψ=−()ψ∇ψ−ψ∇ψ21122112∂t2m对全空间积分：2d∫3*()()KK=∫3[]2**2−i=drψr,tψr,t=−drψ∇ψ−ψ∇ψ122112dt2m2=∫3[]()**()()*()*()=−dr∇⋅ψ∇ψ−ψ∇ψ−∇ψ⋅∇ψ+∇ψ⋅∇ψ2211221
8、12m2=∫3[]()*
