石首市大垸中学：分类讨论解题模块

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1、分类讨论问题解题模块（代数部分）石首市大垸镇中学郑仕有一类数学题，我们在解答时，需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查．这一类试题，我们称之为分类讨论题．分类思考是解决数学问题的一种重要的思想方法，也是我们必须要掌握的一种解题策略．掌握好分类讨论的解题方法，非常有利于培养和发展我们思维的条理性、缜密性和灵活性，使我们能够完整地考虑问题，从而学会化整为零地解决问题．★解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则，分类时要考虑研究对象的相同点和差异点，将它划分为不同种类加以分析和研究．分类时必须遵循以下原则：（1）同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类

2、根据。【案例】有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。事实上，等腰三角形可以是锐角三角形，也可以是直角三角形，还可以是钝角三角形；而钝角三角形、直角三角形、锐角三角形可以是等腰三角形，也可以是不等腰三角形。这样的划分是混乱的。（2）互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。【案例】某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛，其中有6人参加球类比赛，5人参加了田径比赛。如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类

3、，这就犯了子项相容的逻辑错误，因为必有2人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛。（3）相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。【案例】某人把有理数分为正有理数和负有理数两类，这个分类是不相称的，因为子项的外延总和小于母项的外延。事实上有理数中还包括既非正又非负的有理数——零。（4）层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为

4、两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。★解决分类讨论题的基本方法和步骤是：（1）确定研究对象的全体范围；（2）确定分类标准，合理地进行分类；（3）逐级对所分类别进行讨论，获取阶段性结果；（4）综合各级结果，得出最终结论．【案例】解方程

5、x+2

6、+

7、3–x

8、=5分析：对于绝对值的问题，往往要对绝对值的符号内的对象区分为正数、负数、零三种，在每种情形下再分别处理。这一方程里出现了两个数的绝对值，即

9、x+2

10、和

11、3－x

12、，对于

13、x+2

14、应分为x=-2，x＜-2，x＞-2；对

15、3－x

16、应区分为x=3与x＞3，x＜3，把上述范围画在数轴上可见对这一问题应划分为以下三种情形分别处理：x＞-2，-2≤x

17、≤3，x＞3。得解如下：①当x＜-2时，原方程为－(x+2)+3-x=5，得x=-2，这与x＜-2矛盾，故在x＜-2时方程无解。②当-2≤x≤3时，原方程为x+2+3-x=5恒成立，故满足-2≤x≤3的一切实数x都是此方程的解。③当x＞3时，原方程为x+2-(3-x)=5，得x=3，这与x＞3矛盾，故在x＞3时，方程无解。综上所述，原方程的解为满足-2≤x≤3的任何实数。一、分类讨论解题模块结构图二、举例说明类型一概念型分类讨论题有一些中考题中所涉及到的数学概念是按照分类的方法进行定义的，如的定义分＜0、＝0和＞0三种情况描述的．解决这一类问题，往往需要分类讨论，这一类问题我们称之为概念型分类

18、讨论题．【例1】（2012·孝感）若,且,,则．【分析与解答】由，得≥．而由，，得，．下面分情况进行讨论．（1）当时，有＞，这与≥相矛盾，所以不成立；（2）当，时，满足≥，那么；（3）当，时，满足≥，那么．综合上面的讨论可知的值为1或49．【点拨】每年的中考题都会出现一些考查基础知识、基本技能、基本思想方法的问题，这类题主要集中在数与式的一些基本概念与运算方面．因此我们一定要牢固掌握好这些分类定义的概念，并能灵活运用．否则的话对于这类题目我们容易丢解．类型二性质型分类讨论题有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的，这就要求我们在运用它们时一定要分情况讨论．这一类问题我们称之

19、为性质型分类讨论题．【例2】（威海）已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【分析与解答】因为A（1，2）、B（3，2）两点的纵坐标相等，所以抛物线的对称轴方程是，即．又因为点C（5，7）也在抛物线