一维非稳态热传导热源反问题研究

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1、一维非稳态热传导热源反问题研究摘要本文是关于热传导的正反问题的研究，即利用偏微分方程中典型热传导方程求解含有内热源的金属细杆时刻温度分布与热源位置。本文从解偏微分方程出发，由已知条件最终得出温度分布函数及热源位置函数并建立了两个数学模型。模型一：利用偏微分方程及初始温度分布函数建立了一段时间后的温度分布与热源强度、位置之间的数学模型，最终解出一段时间后长杆上的温度分布。模型二：通过一类抛物型偏微分方程模型，解决已知初始温度分布函数、一段时候后的温度分布函数及热源强度的确定热源位置和中间任意时刻的温度分布函数。根据模型一建立偏微分方程组，用分离变量法求解,即时刻的温度分布函数，并通过Matla

2、b中的PDE(偏微分方程)工具箱求解偏微分方程组，且使解可视化。根据模型二依然建立偏微分方程组，通过测得,结合抛物型方程，运用离散正则法，确定热源位置，并通过论证说明问题的唯一性和确定性，给出反问题的数值解法。最后再简单介绍差分法解决热传导在非稳态导热问题中的应用。最后是结论部分，主要总结本文的结果并提出一些尚待进一步研究的问题，以及研究该反问题的应用前景。相同t不同x的温度变化曲线相同x不同t的温度变化曲线第16页共16页一维非稳态热传导热源反问题研究一、问题的提出在金属细秆的传热过程中，温度差是导致其发生必要条件，有无热源决定传导效率的高低。从一维非稳态传导问题的数学模型和初始条件出发，

3、经过对有内热源问题的进一步分析，在初始温度分布已知的情况下，对分布函数的处理显得很关键。对热源反问题的处理中，我们的问题是如何寻找某种合理的附件条件，通过已知方程来解决方程右端的热源的具体位置并使其具有唯一性。本文利用微分方程并建立了满足温度分布的数学物理模型，从理论上导出了温度分布函数和热源位置的求解，并借助计算机软件画出了温度分布图。二、问题的分析对于热传导问题，为了使函数解决起来更容易，对于细秆的初始温度分布我们可以设它在区间[0,L]连续，那么可以展成正弦或余弦级数，对于有内热源的处理，由于细秆边界条件是齐次的，我们采用叠加原理把一根金属细秆的导热问题分解为有热源的具有其次边界条件的

4、稳态导热问题和一个非稳态其次问题，则原问题的解为。对于源反问题的解决有如下3个问题:1、反问题的唯一性:附加条件给得是否合理，也就是说，这个附加条件是否可以唯一确定热源的具体位置。2、反问题的稳定性:反演所得到的热源的具体位置，该热源是否是连续地依赖于测量数据?3、反问题的数值解法:如何用可行的数值方法反演该热源的具体位置。用离散正则法将温度分布离散化，由已知初始温度分布再利用计算机软件得出热源位置三、模型假设1、金属细杆边界与外界无热量交换，即与外界绝缘第16页共16页2、热源强度在整个时间段里始终保持常量。3、在求解源反问题时，热源分布相对细杆长度来说，可假设为点热源。四、符号说明:温度

5、分布函数，即x处在t时刻的温度：热源强度a2：热扩散系数，单位为m2/sL：细杆长度:初始温度分布函数，即t=0时的杆在x处温度其他运算过程中使用符号在步骤中说明，再不赘述。五、模型的建立与求解5.1建立热传导微分方程，并求出温度分布函数由题意可的模型如下：00（1）（2）（3）根据可以把有内热源的非稳态导热问题分解为有热源的具有齐次边界条件的稳态导热问题和一个非稳态齐次问题，即原方程的解为：（4）式中，是如下非稳态的解：(方程组A)（A-1）（A-2）第16页共16页（A-3）是如下稳态问题的解：（方程组B）0

6、的乘积，即设代入微分方程（A-1）中，可得或（A-4）（若为+，则推导后所得出的解，其结果将对取任何值都不能满足边界条件），再由边值条件，有必有。由（A-4），有；（A-5）；（A-6）；至此，通过分离变量，我们把微分方程的边值问题转化成为常微分方程的边值问题。要是(A-5)有非零解，只要取=n=（n=1，2，3···）对应的非零解为，类似方程(A-6)的解于是得到方程组A的一组线性无关的解：（n=1,2,3···）第16页共16页通过适当取值，设p(x)是函数的有限线性组合即最终得到其中，显然，满足边值条件对方程组B：即考虑有内热源的情况下，利用傅里叶变换求解0

7、二次积分。最后，利用叠加定理将方程组A与B合并，即为所建模型温度分布函数的解：5.2已知T时刻的温度分布和初始温度分布，求解热源位置。对于求源问题，由已知初始温度分布和一段时间后细秆的温度分布，那即为来求热源位置。a、离散正则化一维问题的一般提法为：第16页共16页（A）式中，边界条件当，，已知的情况下，原方程变为一维热传导方程的正问题，问题5.1就是属于一类一维热传导问题，对此借助参考文献[1]得出另一解为