有趣的有趣的“五猴分桃”问题

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1、有趣的“五猴分桃”问题2009-06-0214:45  据说以下的“五猴分桃”问题最先是由大物理学家狄拉克提出来的,这一貌似简单的问题曾困扰住了他,经过努力,他只是获得了相当繁琐的求解方法。为了获得简便的方法,他把问题提供给当时的一些数学家,有意思的是竟然也没有得到满意的结果。在后来者的不断努力下,比较简捷的方法才逐步涌现。李政道和杨振宁曾荣获诺贝尔物理学奖,正是由李政道提议成立了中科大少年班,他在中科大少年班的开班仪式上对“五猴分桃”问题进行适当演绎,提供给了少年班同学。  “五猴分桃”问题   话说花果山水帘洞有5只聪明的猴子,有一天它们得到了一堆桃子,他们发现那

2、堆桃子不能被均匀分5份,于是猴子们决定先去睡觉,明天再讨论如何分配。夜深人静的时候,猴子A偷偷起来,吃掉了一个桃子后,它发现余下的桃子正好可以平均分成5份,于是它拿走了一份;接着猴子B也起来先偷吃了一个,结果它也发现余下的桃子恰好可以被平均分成5份,于是它也拿走了一份;后面的猴子C、D、E一次如法炮制,先偷吃一个,然后将余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份,问:这一堆桃子至少有几个?  以下我们尝试给出该问题的解,我们将发现,用我们所学的数列的递推关系公式可以很好地解决该问题。已经解答过类似的题目比如这一题1。有五个小朋友甲、乙、丙、丁、戊按如下方法分一堆弹珠:甲

3、先拿去一颗弹珠,和剩下弹珠数的1/5,接着乙也拿去一颗弹珠,和剩下弹珠数的1/5,后来是丙拿去一颗弹珠,和剩下弹珠数的1/5,又后来是丁拿去一颗弹珠,和剩下弹珠数的1/5,最后是戊拿去一颗弹珠,和剩下弹珠数的1/5。问:最初至少要有多少颗弹珠?有一个很简单的方法:先借他们4个弹珠,那么甲将弹珠恰分作五份拿走一堆(其实这一堆也就是先前他拿的一堆加一个),剩下那四堆各取出一个给乙来分弹珠,将四个弹珠又放进去,因为原本多一个弹珠,就可以平分成……答案就是5*5*5*5*5-4=3121其实这个是最小值实际上5*5*5*5*5*X-4得到的每个数值都可以X取自然数二.显然,如

4、果不考虑正负,-4为一解。考虑到要5个人分,假设分n次。则题目的解:5^n-4本题为5^5-4=31213121个,最后还剩1020个验证:3121-1=3120;3120×4/5=24962496-1=2495;2495×4/5=19961996-1=1995;1995×4/5=15961596-1=1595;1595×4/5=12761276-1=1275;1275×4/5=1020楼上的方法很巧妙,不过,得出答案5*5*5*5*5-4=3121,有点太突然了,最好把中间步骤补上:设原来珠子总数为N,借来4个后,为N+4个。经过第一步后,剩下4(N+4)/5经过第

5、二步后,剩下4^2(N+4)/5^2经过第三步后,剩下4^3(N+4)/5^3经过第四步后,剩下4^4(N+4)/5^4经过第五步后,剩下4^5(N+4)/5^5显然,4^5(N+4)/5^5为整数,因为4^5和5^5互质,则:(N+4)肯定能被5^5整除。所以,N=5^5×K-4,(K=1,2,3,......)当K=1时,N为最小值,结果为5^5-4=3121实际上只需要往桃堆添四个桃,就会发现,实际上每次猴子都是拿走桃堆的五分之一(包括它吃掉的),然后就是一个公比为5/4的等比数列。桃子必然是整数,分5次每次都要能整除4,所以最后的桃子数必须要能整除1024,当

6、然这是添了4个桃子的结果。拿走以后剩的桃子最少是1020个,这种情况下,一开始的桃子是3121个。

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