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1、用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆及其应用第21卷第3期2005年9月北京建筑工程学院JournalofBeijingInstituteofCivilEngineeringandArchitectureVo1.21Sep.NO.32005文章编号:1004—6011(2005)03—0059—04用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆及其应用刘长河,汪元伦,刘世祥(1.北京建筑工程学院基础部,北京100044;2.绵阳师范学院数学与信息科学系,四川绵阳621000)摘要:根据三对角矩阵的特点,给出一种利用解线性方程组的方法求三对角矩阵的逆矩阵的算法.该算法有两个优点.第一,运算量小.在
2、整个计算过程中,只需进行o(詈n2)次乘除运算第二,节省内存.除原始数据外,只定义3个一维数组,而不需任何二维数组.数值实验表明.它具有较高的精度.此算法特别适用于求解一大批具有相同的系数矩阵,而具有各自不同的非齐次项的线性代数方程组.关键词:三对角矩阵;线性方程组;逆矩阵中图分类号:O241.6文献标识码:AFindtheInverseMatrixofTridiagonalMatrixbySolvingSystemsofLinearAlgebraicEquationsLiuChanghe,WangYuanlun.LiuShixiang(1.Dept.ofBasicSciences
3、,Beijing,100044;2.Dept.ofInformationandMathematics,MianyangNormalCollege,Mianyan,621000)Abstract:Inthispaper,analgorithmforfindingtheinversematrixoftridiagonalmatrixbysolvingsystemsoflinearalgebraicequationsisproposed.Thisalgorithmisgotaccordingtothepeculiarityoftridiagonalmatrix.Ouralgorithmh
4、astwoadvantages.First,theamountofarithmeticoperationis/●,smal1.ThenumberofmultiplicationanddivisionoperationsisonlyaboutOl号J.Second,memoryunitsofcomputeraresaved.Onlythreeone—dimensionarraysaredefinedduringthecourseofcalcula—tion,whilenotwo—dimensionarraysareneeded.Byvaluationexperiment,ouralg
5、orithmisshowedhashighprecision.Thisalgorithmisparticularlysuitableforsolvingalotofsystemsoflinearalgebraequa—tions,whichhavethesamecoefficientmatrixanddifferentnon—homogeneousitems.Keywords:tridiagonalmatrix;systemoflinearalgebraicequations;inversematrix给定非奇异矩阵D1,要求其逆矩阵Df,理论上可以通过求解以下个线性方程组:D1z
6、=e,(i=1,…,)(1)其中,z=(z1,z2,…,z)r,e=(0,0,…0)T,e为单位向量,其第i个分量为1,其,1,0,…,它分量均为0.记方程组(1)2列的矩阵即是D1的解向量为z(,则以z(为第的逆矩阵:(z(¨,z(,…,z())(2)但是,无论利用线性方程组的直接解法[还是迭代法[,,这种方法计算量都太大.比如,若用收稿日期:2005—06—03作者简介:刘长河(1966一),男,副教授,理学博士,研究方向:计算数学第3期刘长河等:用解线性方程组方法求三对角矩阵的逆及其应用61盾.于是,用上面方法求出的个向量z((i=1,2,…,)分别是下列个方程组Dxz=(i
7、=1,2,…,)(16)之解.即D1z()=8i8(i=1,2,…,)(17)从而D(㈩)_(1,2,…,)(18)1'为(1)中第个方程组之解.于是,D11=(击),1),…,ix㈩)(19)综上所述,可给出求三对角矩阵A的逆矩阵的算法.算法:1.输入数组a=(a1,a2,…,a),c=(c1,c2,…,C一1),d=(1,2,…,d一1).2.取z1=1,由公式(6)求出向量z=(z1,z2,…,z)T,取z:=1,由公式(8)求出向量z=(z,—一1一上L]1—
