寻找"矛盾"的足迹.doc

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1、寻找“矛盾”的足迹数学科组：潘海燕关键词矛盾、知识点、知识系统摘要在知识点内、知识点间和知识系统间寻找数学问题的矛盾所在，分析矛盾、解决矛盾，从而解决数学问题。在整个中学数学中，数学问题充斥着始终。而数学问题是反映了数学本身的发展过程中所产生的矛盾，同时也反映了现实世界的空间形式与数量关系的矛盾。解决数学问题是中学数学贯彻始终的一种能力。因此,寻找数学问题中的矛盾也就是解决数学问题的关键。数学问题中的矛盾主要有：知识点本身的矛盾；知识点与知识点间的矛盾；知识系统之间的矛盾。只有找到矛盾才能找到更好的正确的解决问题的方法。一、在知

2、识点内寻找矛盾，从而解决有关知识点内的问题。例1实数a、b、c,满足a=6-b，c2=ab-9，求证：a=b。分析：从题目中可发现要求证多项式相等，而已知中有二项式，求证中没有，于是多项式间产生了矛盾。为此，首先要消去c2,但直接消去不可能，于是逆向思维，暂时不消c2而改消a和b.考虑到条件可化为a+b=6,ab=c2+9,故可以a、b为根构造出如下的一元二次方程：t2-6t+c2+9=0,从而消去了a、b，∵a、b为实数，∴方程的判别式Δ=36-4（c2+9）=-4c2≥0从而c2≤0，∵c∈R，∴c2≥0，∴c=0，∴Δ=0

3、即方程有相等的实根，∴a=b，于是结论得证。并最终达到了消去c2及二次。例22x+x2y=y解方程组2x+y2z=z2z+z2x=x分析：此题是三元二次方程组，次数高、未知数多。直接求解显然有困难，于是需要认真观察，发现矛盾产生于方程与方程之间，在关于x、y、z的轮换对称式中得到了解决。由2x+x2y=y知,令x=tanα则y=tan2α。仿此，由第二、第三个方程又可得，从而有z=tan4α,x=tanα=tan8α.据此联系即可顺利求解。二、知识点间寻找矛盾，从而解决有关知识点间的问题。例3如果p3+q3=2,求证：p+q≤2

4、。分析：比较条件与结论，发现这是等式与不等式之间的矛盾。于是要设法将这一矛盾统一起来，即将等式转化为不等式，或不等式转为等式。为此，我们可用反证法。假设结论不成立，则有p+q>2,如果由此出发推出矛盾，则由排中律。即知原命题成立。为此，我们由p+q>2可得。P>2–q代入条件式得（2-q）3+q3<2化简得6(q-1)2<0而这是不可能的，故得矛盾。从而证明到原命题成立。例4在ΔABC中，AB=AC，D是BC上的一点，E是AD上的一点，且∠BED=2∠CED=∠A。求证：BD=2CD。分析：比较条件与结论，发现这是角之间的关系与

5、线段之间的关系的矛盾。而为了找出角与线段间的关系，就得深入研究角之间的关系，于是将矛盾引向知识点间的矛盾。从结论可得=2，从而想到将其与平行线截线段成比例定理联系起来。于是，如图，过C作CG∥AD，并交BE的延长线于G，则要证明结论成立，只需证明BE=2EG。连接AG，则由图示直观及已知条件可知∠BGC=∠BED=∠BAC，从而可知A、B、C、G四点共圆。又由AB=AC，CG∥AD，所以AE=EG。从而要证明结论成立，只需证明BE=2AE。为证BE=2AE，可取BE的中点F，连接AF，再证△AEF为等腰三角形。但此举不易做到，故

6、只得再次转化。即由条件出发顺推结论。为此，由∠BED=2∠CED=∠A得到启发，将∠BED一分为二，使半角等于∠CED，从而转向∠CED，如图作∠BED的平分线EM交BC于M，过A作AF∥EM交BE于F，则易证△AEF为等腰三角形。于是接下去只要证明F为BE的中点即可。由于BF与AE分别是△ABF与△CAE的对应边，故要证明F为BE的中点，只需证明△ABF△CAE。∵AB=AC，∠CAE+∠BAE=∠BAC，∠ABF+∠BAE=∠BED=∠BAC，∴∠ABF=∠CAE。∵∠AFE=∠CED，而∠BAF+∠ABF=∠AFE，∠CA

7、E+∠ACE=∠CED，∴∠BAF=∠ACE。∴△ABF△CAE，BF=AE=FE。∴BE=2AE。它就是本题的条件与结论间的内在联系。借助这个联系，即可使原题得到简易的证明。证明：如图，延长BE到G，使AE=EG，则得到△EAG∽△ABC，从而∠EGA=∠C。所以A、B、C、G四点共圆。从而∠BGC=∠BAC=∠BED。故AD∥GC。所以==2。即BD=2CD三、知识系统间的矛盾。在数学中最大的有两大知识系统：代数系统与几何系统。其中联系密切，于是在数学问题中的表现为矛盾重重。请看以下问题：例5等腰△ABC的底边为1，底角B的

8、平分线交对腰AC于D，求证：〈BD〈分析：在平面几何系统内证明不等式关系，一般来说是比较困难的，但在代数知识系统中却会变得容易一些。因此，化难为易，我们不妨进行跨体系的结构转换，将几何问题转移到代数系统中处理。为此，过A作BC的垂线为y轴，以BC所在直线为x轴建