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1、信息学竞赛中问题求解题常见考查题型分析问题求解是信息技术竞赛初赛中常见题型，它共两题，每题5分，共10分。诸如寻找假币、博弈原理、抽屉原理、容斥问题、排列组合问题、逻辑推理、递推关系等问题出现在问题求解中，但是在实际的竞赛中，问题求解得分率往往是不高的，下面我对问题求解的题型进行了一下探索。一、寻找假币问题有n（n≥3）个硬币，其中一个是假币，已知假币的重量比其他的要重一些，你有一架天平。现在要称出哪个假币来。解析：首先我们先来考虑最简单的问题1。为了方便叙述，把n个硬币按1,2,…,n顺次编号。若n=3，把一号硬币放在天平左边、二号硬币放在天平右边。如果天平：1、左偏，
2、一号重，是假币。2、右偏，二号重，是假币。3、保持平衡，那么一、二都是正常的硬币，因此就只有可能三号硬币是假币了。因此n=3，至多一次就能称出哪个是假币。记作f(3)=1。下面考虑n=9。把所有的硬币分成三组：A{1,2,3},B{4,5,6},C{7,8,9}。A组的硬币放在左边、B组放在右边。如果天平：1、左偏，则假币在A组里面。2、右偏，则假币在B组里面。3、保持平衡，假币在C组里面。无论在哪个组里面，我们已经把假币的范围从“9”缩小到了“3”，也就是减少到原来的1/3。之前我们已经研究过，3个硬币1次就能称出来，故而f(9)=2。不难推广到一般的情况：定理1.1f
3、(3n)=n。证明：n=1,2时，已证。设n=k成立，则f(3k)=k；下面考虑n=k+1的情况。将3k+1个硬币分成三堆A,B,C，使得
4、A
5、=
6、B
7、=
8、C
9、=3k。把A放在天平左边、B放在右边，天平：1、左偏，假币在A2、右偏，假币在B3、平衡，假币在C无论哪种结果，我们都把假币的范围缩小到了3k个硬币里面。而f(3k)=k，故而f(3k+1)=k+1。综上，定理1.1成立。稍经分析不难得到：定理1.2f(n)=这个的证明和定理1.1完全类似，分nmod3=0,1,2适当讨论即可。我们必须注意到是可行的，因为我们能够构造出这样一个方案。问题是它是否最优？我们采取的方案
10、是每次将硬币尽量均匀的三分，这样做的根据就是天平只有三种结果：左偏、右偏、平衡。于是就能保证无论假币在哪一份都能将结果的范围缩小到原来的1/3。从感性上认识，应该就是最优解了。为了更加严格的证明的最优性，我们引进判定树的概念。下图就是n=9时的一种判定树：比较(1,2,3)与(4,5,6)>=<比较(1)与(2)>13=<2比较(7)与(8)>79=<8比较(4)与(5)>46=<5此题的判定树是这样一棵树：1、叶子节点代表一种可能的结果。2、非叶子节点代表一次称量。3、非叶子节点至多有三个儿子，分别代表天平的左偏、右偏、平衡三种情况。任意一种称量方案都能唯一的表示成一棵
11、判定树；反过来一棵判定树也唯一对应一种称量方案。容易看出判定树的深度就是称量次数。这就是我们之所以引进它的原因。做出判断之前，谁也无法预知哪个硬币是假币，每个都有可能是我们的目标；因此一个有意义的判定树应该具有至少n个叶子节点。n个叶子节点的树的深度h≥，故而可以证明，f(n)=是最优的。我们的结论是：有n（n≥3）个硬币，其中一个是假币，假币的重量比其他的要重一些。给一架天平，至少称次，就能找出那个假币。具体的方案是将硬币每次都尽量均匀的三分。让我们总结一下。“三分”是整个解法的核心。我们选择三分，而不是二分或者四分是有原因的，它的本质是由判定树的特殊结构——三叉树——
12、所决定的。同时还必须注意一点，我们在三分的时候有两个字很讲究：“均匀”。实际上h≥中的“=”当且仅当硬币被均匀的分配时才能达到。这里说的“均匀”是指“在最坏情况下获得最好的效果”。因为一棵树的深度是由它根节点儿子中深度最大的儿子决定的，为了使得整个树深度最小，我们就要务必使得深度最大的儿子深度最小，这就是“均匀”分配的理论根据。练习：第12届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛题现有80枚硬币，其中有一枚是假币，其重量稍重，所有真币的重量都相同，如果使用不带砝码的天平称重，最少需要称几次，就可以找出假币？你还要指出第1次的称重方法。请写出你的结果：______________
13、___________________________________。答案：4次；第一步，分成三组：27，27，26，将前2组放到天平上。二、取石子游戏的策略及其应用有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是石子或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。取石子游戏是我国民间流传已久的一种博奕，在国外亦称Nim游戏。别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的道理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。游戏Ⅰ有若干堆任意数目的小石子{a1，a2，…，am}(m≥1)，两人轮流取石子，每人每次可以从其中任意
