多边形的内角和与外角和

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1、多边形的内角和与外角和 　　一、内容综述：　　多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。　　凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。　　凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。　　正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。　　对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。　　n边形的内角和=(n-2)·180°。　　任意多边形的外角和都为360°（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。　　注意：(1)多边形的内

2、角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；　　　　　(2)凸多边形的内角α的范围：0°＜α＜180°。　　二、例题分析：　　例1、(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？　　(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？　　(3)几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？　　(4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数．　　分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。　　解：（1）（22-2）×

3、180°=3600°　　3600°÷22=（）°　　180°-（）°=（）°　　（2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍　　则（n-2）×180°=2×（8-2）×180°　　　　n=14　　（3）设n边形的内角和是2160°　　则（n-2）×180°=2160°　　　　n=14　　设n边形内角和为1000°，则（n-2）×180°=1000°　　因为n不是整数，不符合题意。　　所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000°　　(4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。

4、　　根据题意得：（n-2）×180°=2×360°，　n=6　　　例2、(1)已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；　　(2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数　　分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系　　解：（1）因为多边形的每个内角都是135°，　　所以它的每一个外角都是45°，　　360°÷45°=8，这个多边形是8边形。　　（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。　　设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻

5、补角，　　所以：x+9x=180° 　　　　x=18°　　因为多边形的外角和为360°，　　所以360°÷18°=20，此多边形为20边形。　　例3、(1)某多边形除一个内角α外，其余内角的和是2750°．求这个多边形的边数．　　(2)已知n边形恰有四个内角是钝角．这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？　　解：（1）因为凸多边形的每一个内角α的范围是：0°＜α＜180°，　　所以设这个多边形的边数为n，　　2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180°　　

6、因为n为整数，所以n=18。　　（2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角，　　由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角，　　①若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形； 　②若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；　　③若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；　　其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形 　例4、已知：四边形ABCD中(如图)，∠A与∠B互补，∠C=90°，DE⊥AB，E为垂足．若∠EDC=60°，求∠B、∠A

7、及∠ADE的度数．　　　解：因为，∠A+∠B=180°，所以AD∥BC　　所以∠C+∠ADC=180°，　　因为∠C=90°，所以∠ADC=90°　　又因为∠EDC=60°，所以∠ADE=30°　　因为DE⊥AB，所以∠AED=90°　　在△ADE中∠ADE=30°，∠AED=90°，所以∠A=60°　　因为，∠A+∠B=180°，所以∠B=120°　　例5、已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°，求这多边形的边数．　　解：因为凸多边形的每一个外角α的范围也是：0°＜α＜180°　　所以设这

8、个多边形的边数为n，　　1350°-180°＜(n-2)×180°＜1350°-0°　　因为n为整数，所以n=9。　　答：这多边形的边数为9。　　例6、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．　　解：解：设外角为x则内角为（4x+30°）　　因为每一个内角与它的外角互为邻补角　　所以：x+(4x+30°)=180°　　　　　x=30°　　因为多边形的外角和为360°，所以360°÷30°=12　　这个多边形的内角和为（12-2）×