[导数与微分]导数与微分总结

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1、[导数与微分]导数与微分总结篇一:导数与微分总结导数和微分一、学习要求：正确理解微商的概念；知道微商的几何意义与物理意义；掌握可导与连续的关系；牢固掌握求导的四则运算公式、复合函数求导的法则和反函数求导的法则，能迅速正确地求初等函数的导数；熟悉基本初等函数的求导公式；掌握隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法；正确理解微分概念；了解可微与可导的关系，知道导数与微分的区别与联系；正确理解一阶微分的形式不变性，并会用它求导．二、学习的重点与难点重点：微商与微分的概念，求导的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公

2、式．难点：复合函数的求导法则，一阶微分的形式不变性．三、导数的常用计算方法利用微商的定义求导；利用求导的四则运算法则及基本初等函数的导数公式求导；利用反函数求导法则求导；利用复合函数的链式法则求导；利用对数求导法则求导；隐函数求导法；由参数方程给出的函数的求导；用莱布尼兹公式求高阶导数．四、微分的求法用dy=f′dx来求；利用微分的四则运算公式来求；利用一阶微分的形式不变性来求复合函数的微分．1．定义的提出：由两个问题引入导数的思想:瞬时速度和切线的斜率．定义1设函数y=f在点x0的某领域内有定义，若极限limx→x0f?fx?x0存在，则

3、称f在x0可导，并称该极限为f在x0点的导数，记为f′.注：几个等价的形式：若令x=x0+Δx，Δy=f?f，则式也可写成：limf?fΔy＝f′．=limx→x0x→x0ΔxΔx在不求极限时，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，而导数f′则为f在x0处关于自变量x的变化率．导数的几何意义：过)的切线的斜率．例1利用定义求：y=x2在x=1处的导数，并求曲线在处的切线方程．例2证明y=x在x=0处不可导．下面介绍可导与连续的关系：定理若函数f在x0可导，则f在x0点连续.但是反之一般不成立．证明要用到有限增量公式，即：Δy=f′Δx+

4、o例3证明函数y=x2D仅在x=0处可导，其中D为狄利克雷函数.由于导数的概念是由极限给出的，因此也可考虑单侧的极限，进而就有单侧导数的概念：定义2设函数y=f在点x0的某右领域内有定义，若极限lim+x→x0f?fx?x0存在，则称f在x0右可导，并称该极限为f在x0点的右导数，记为f+′．类似的，可以定义左导数的概念．定理f在x0可导的充要条件是：f在x0左，右可导．这个定理通常针对分段函数的分界点．?1?cosx,x≥0例4设f=?，讨论函数在x=0的左，右导数以及导数．?x,x2．导函数若函数f在区间I上的每一点都可导，则称f为I上

5、的可导函数.此时对每个x∈I，都有f的一个导数f′与之对应.这样就定义了一个在I上的函数，称其为f在I上的导函数.记为f′，y′或dy．dx例证明者1）′=nxn?12）′=cosx，′=?sinx3）′=3．导数的几何意义例求曲线y=x3在点P处的切线与法线方程．1logaex4．关于极值极值是函数的局部性质．定义若函数f在x0的某邻域U内对一切x∈U有f≥ff≤f则称f在x0取得极大值.极大，极小通称为极值.例证明：若f+′>0，则存在δ>0，对任何x∈，有f定理设函数f在x0的某邻域U内有定义，且在x0可导.若点x0是f的极值点，则f

6、′=0．称满足方程f′=0的点为稳定点.因此费马定理表明：可导的极值点必为稳定点，但反之一般是不成立的．定理若函数f在[a,b]上可导，且f+′≠f?′，k为介于f+′与f?′之间的任一实数，则至少存在一点ξ∈，使得f′=k1．四则运算±v)′=u′±v′v)′=u′v+uv′u′v?uv′)′=2vv例1设f=x3+5x2?9x+π，求f′例2y=cosxlnx，求y′x=π例3证明′=?nx?n?1例4求′=secxtanx，′=?cscxcotnx2．反函数的导数定理设y=f是x=?的反函数，若?在点y0的某邻域内连续，严格单调且?′

7、≠0，则f在点x0可导，且f′=3．复合函数的导数1?′引理f在x0可导的充要条件是在x0的某邻域U内，存在一个在点x0连续的函数H，使得f?f=H从而f′=H．注：f在x0可导的充要条件是：x0是函数f?f的可去间断点．x?x0定理设u=?在x0点可导，y=f在点u0=?可导，则复合函数fo?在点x0可导，且′=f′?′=f′)?′．例设y=sinx2，求y′例设f=x2+1，求f′，f′1，求f′x例例f=ln，f=tan2设y=521312，求y′．例设y=uv，其中u>0，u，v均可导，试求此幂指函数的导数.4．基本求导法则与公式求

8、导法则：′=u′±v′′=u′v+uv′uu′v?uv′′=vv2dy=dxdydydu=?dxdudx基本的求导公式c′=0c为常数′=αxα?1α为任意实数′=cosx，′=