量子力学导论11章答案

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1、第十一章量子跃迁11—1）荷电的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取沿轴方向来计算）。解：令（6）初始条件（5）亦即（5）用式（6）代入式（4），但微扰项中取初值（这是微扰论的实质性要点！）即得以左乘上式两端并全空间积分，得再对积分，由，即得（7）因此时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到态的几率为[可直接代入P291式（23）、P32

2、1式（15）而得下式]（8）根据选择定则，终态量子数必须是即电子只能跃迁到各态，而且磁量子数。跃迁到各激发态的几率总和为（9）其中（为奇宇称）6（10）为Bohr半径，代入式（9）即得（11）电场作用后电子仍留在基态的几率为（12）11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton量表为（能量表象）,,设时刻体系处于基态，后受微扰作用，,求时刻体系处于激发态的几率。解：时，体系，其矩阵表示（表象）为（1）设的本征函数为（2）代入本征方程（3）得到（4）上式存在非平庸解的条件为由此解出（5）令，，（6）6式（5）可以写成（5’）当，由式（4）求得取，即得相应的能量本征函数（未归一

3、化）为（7）当，类似可求得（8）时，体系的初始状态为（9）其中（10）因此时波函数为（11）以式（5’）、（7）、（8）代入上式，即得（12）体系处于态的几率为（13）11—4）自旋为的粒子，磁矩为，处于沿轴方向的常磁场中，初始时刻粒子自旋向下。后来加上沿轴方向的常磁场。求时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符，与外磁场的的作用）解：粒子的磁矩算符可表示成（1）为泡利算符，磁场对粒子的作用势为（2）6在表象中，的矩阵表示为（2’）以下求的本征值和本征函数，设本征函数为（3）本征方程为，则（4）能级方程为（5）令，，（6）由式（5）容易解出（7）将之值代回式（4），即可求出如

4、下本征函数：（8）注意，这两个本征函数并未归一化。将时的初始波函数按能量本征函数展开，（9）因此，时波函数（10）注意满足归一化条件在时刻，测得粒子自旋“向上”的几率为6（11）本题可以视为11—3）题的一个实例。66