两个单调函数乘积的单调性毕业论文

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1、两个单调函数乘积的单调性毕业论文目录摘要：I关键词IAbstractII1引言12单调函数基本理论12.1定义12.2性质33单调函数的判定33.1定义法33.2利用复合函数性质判定43.3利用反函数性质判定53.4利用奇、偶函数性质判定63.5求导法74函数单调性的应用84.1求函数的极值、最值以及值域84.2证明不等式94.3证明方程根的存在性以及判断根的个数115探讨两个单调函数的乘积的单调情况115.1影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素115.2利用导数证明两个单调函数的乘积的单调情况125.2.1乘积函数求导法则125.2.2分情况讨论两个单调函数的乘积的

2、单调性135.3举例论证相关结论146结束语15致谢16参考文献17171引言单调函数是历年高考考查的重要内容之一，考查方式之广，考查题目之多，无疑成为了老师教学的重点和学生学习的难点.当只讨论一个简单函数的单调性时，问题并不难解决，如基本初等函数的单调性问题.难点就在于函数经过运算之后的单调性问题，比如两个单调函数相乘或者是相除之后得到的新函数单调性问题.对于这一点，有不少人会有错误的理解，如认为“两个单调增加函数的乘积必为单调增加函数”或者是“两个单调减少函数的乘积必为单调减少函数”.这两种说法具体错在哪里呢？下面我们将紧紧围绕着函数单调性这个问题进行研究探讨.2单调

3、函数基本理论2.1定义设函数的定义域为，若，且时，有（或），则称函数在上单调增加（或单调减少）.若上式中等号不成立，即（或），则称函数在严格单调增加（或严格单调减少）.函数在上单调增加、单调减少与严格单调增加、严格单调减少，均可称为函数在上单调.严格单调增加与严格单调减少称为严格单调.定义域称为函数的单调区间.特别地，常数函数既是单调增加函数，又是单调减少函数【1】.（图2.1单调增加函数）（图2.2单调减少函数）例：几个常见函数的单调性.（1）指数函数，当时，在上严格单调减少，当时，在上严格单调增加；（2）对数函数，当时，在上严格单调减少，当时，17在上严格单调增加；（

4、3）二次函数，当时，函数开口向上，在上严格单调减少，在上严格单调增加，当时，函数开口向下，在上严格单调增加，在上严格单调减少.（指数函数，）（指数函数，）（对数函数，）（对数函数）（二次函数，）（二次函数，）（4）反正切函数在上严格增加，反余切函数在上严格减少；（5）一次函数，当时，在上严格减少，当时，在上严格17增加；2.2性质性质2.1若函数为增函数，则其图像在单调区间上逐渐上升（因变量随着自变量的增加而增大）；若函数为减函数，则其图像在单调区间上逐渐下降（因变量随着自变量的增加而减小）.性质2.2是在上的单调增加函数，若，则在上是单调增加函数，若，则在上是单调减少函

5、数.性质2.3设都是在上的单调增加函数，则函数也是在上是单调增加函数.证：，且，由题意有与，则它们的和有，，即它们的和在上也是单调增加.性质2.4若都是在上的非负单调增加函数，则在上是单调增加函数.性质2.5若是在上的正单调增加函数，则它的倒函数在上是单调减函数；性质2.6若函数和分别在定义域和上单调，则复合函数在其定义域内也单调，当且仅当和同指向单调时单调增加（在3.2中将给出详细证明）.性质2.7若是在上的单调函数，则的反函数在上也是单调函数，且与单调性相同（在3.3中将给出详细证明）.性质2.8由奇函数的图像关于原点成中心对称，可知其在原点两侧的单调性相同；由偶函数

6、的图像关于原点成轴对称，可知其在原点两侧的单调性相反.3单调函数的判定在熟悉了有关函数单调性的定义和性质之后，我们可以推出几种判别函数单调性的方法，如定义法，复合函数法，反函数法，奇、偶函数法.除此之外，我们还可以利用导数这一工具，简单而有效地判断出函数的单调性，下面将对这些方法一一进行讨论.3.1定义法设为定义在上的函数，为定义域内的两个任意自变量，一般假设，给出函数之后，我们用2.1中的定义来判断函数在上的单调性.一般步骤如下：（1）在定义域内任取，且；17（2）比较和的大小，一般用差值法，令；（3）若，则函数在上单调增加；若，则函数在上单调减少.例：判断函数在其定义

7、域内的单调情况.解：当时，任取且，则，又因为，且，所以，即，可知在上单调减少.同理可证：在区间上，也单调减少，所以函数在定义域单调减少.3.2利用复合函数性质判定定义3.1【1】设函数定义域为，函数定义域为，是定义域中使的，关于的非空子集，即由对应关系可知，对应唯一一个，又由对应关系可知，对应唯一一个.所以由对应关系和可知，都有唯一一个与之对应，于是在上定义一个函数，称为函数与的复合函数，即，称为中间变量.复合函数单调性相关结论如下【7】：（1）、在定义域内单调性相同时，函数单调增加；（2）、在定义域内单调性相反时，函数单调减