椭圆性质总结及习题

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1、椭圆重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程；难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。1椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P

2、

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=2a，2a＞

7、F1F2

8、}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P

9、，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（－c

10、，0），F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3．参数方程：椭圆的参数方程4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：坐标系下的性质：①范围：

11、x

12、≤a，

13、y

14、≤b；②对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中

15、心为O（0，0）；③顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴

16、A1A2

17、=2a，短轴

18、B1B2

19、=2b；（半长轴长，半短轴长）；④准线方程：；或⑤焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。

20、PF1

21、==a+ex0，

22、PF2

23、==a-ex0；

24、PF1

25、==a+ey0，

26、PF2

27、==a-ey0;平面几何性质：①离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越______，是_____。②焦准距；准线间距二、焦点三角形结论一：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，当点P位于___

28、________时最大，cos=______________.

29、PF1

30、

31、PF2

32、的最大值为______________.结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。三．中点弦问题是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为。四．弦长问题.(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长或.(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用，往往比利用弦长公式简单。

33、五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：已知椭圆，则点(m，O)到椭圆的最短距离为：_________________.六．过椭圆上点切线问题若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.习题1、求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。2、已知椭圆的焦点为和，P是椭圆上的一点，且是与的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。3、椭圆上的一点M到左焦点的距离为2，N是的中点，则ON的长是___________________。4、如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是___

34、___________。5、过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为__________。6、设是椭圆的两个焦点，以为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个焦点为M，若直线与圆相切，则该椭圆的离心率为____________________。7、点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.8、（2009年上海卷理）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=__

35、__________.9、（2009北京文）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则；的大小为.10、已知椭圆的左、右焦点分别为、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为_________。11、设点P（x，y）在椭圆，（1）试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。(2)求x+2y的最小值。12、设、分别是椭圆的左、右焦点.(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

36、13、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点（是其左顶点，点在椭圆上，且，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．14、已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线椭圆于不同的两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，且，求的值（点为坐标原点）；（Ⅲ）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．15、在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于