线性方程组的解法讨论与应用--朱全民

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1、2006年全国信息学冬令营讲座线性方程组的解法讨论与应用朱全民线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得2006年全国信息学冬令营讲座由(3)-4×(1)(1)得第二步：将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1，得再将(3)(1)式中x2系数化为零，即由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2

2、)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得x3=1,将x3代入(2)(2)得x2=-2,将x2、x3代入(1)(1)得x2=1所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1）将某行同乘或同除一个非零实数2006年全国信息学冬令营讲座（1）将某行加入到另一行（2）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：示例：（四）高斯消元的公式综合以

3、上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令aij(1)=aij,（i,j=1,2,3,…,n）bi(1)=bi,（i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若akk(k)≠0，进行lik=aik(k)/akk(k),（i=k+1,k+2,…,n）aij(k+1)=aij(k)-lik*akj(k),（i,j=k+1,k+2,…,n）bi(k+1)=bi(k)-lik*bk(k),（i=k+1,k+2,…,n）2．回代若ann(n)≠0xn=bn(n)/ann(n)xi=(bi(i)–sgm(aij(i)*xj)/-aii(i),（i=n-1,n-2,…,1）,(

4、j=i+1,i+2,…,n)（五）高斯消元法的条件消元过程要求aii(i)≠0(i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求ann(n)≠0,但就方程组Ax=b讲，aii(i)是否等于0时无法事先看出来的。注意A的顺序主子式Di（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(aii(i)≠0,i

5、(i)(i=2,3,…,n)所以有定理：高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵A的1到n-1阶的顺序主子式不为0。（六）选主消元因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。当

6、akk(k)

7、<<1，此时用它作除数。会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。例如：0.00001x1+x2=1.000012x1+x2=3解：代入得到x1=0,x2=1。显然，严重失真换主元，将两行交换，如下，代入得到x1=1,x2=1,答案正确。总结：在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主

8、元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。2006年全国信息学冬令营讲座（六）解的判断设方程组的增广矩阵记为，则经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(必要是可重新排列未知量的顺序)：其中cii¹0(i=1，2，…，r)．于是可知：(1).当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解．(2).当dr+1=0，且r

9、程组Ax=b假设能将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积，即A=LU，式中，L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵,且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零。所以有，LUx=b令Ux=y则Ly=b2006年全国信息学冬令营讲座由A=LU,由矩阵的乘法公式：a1j=u1j,j=1,2,…,nai1=li1u11,i=1,2,…,n推出u1j=a1j,j=1,2,…,nli1=ai1/u11,i=1,2,…,n这样就