随机过程课后习题

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时间:2018-08-01

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1、习题一1.设随机变量X服从几何分布,即:。求X的特征函数、EX及DX。其中是已知参数。2.(1)求参数为(p,b)的分布的特征函数,其概率密度函数为(2)求其期望和方差;(3)证明对具有相同的参数b的分布,关于参数p具有可加性。3.设X是一随机变量,F(x)是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。(1);(2),并求(k为自然数)。4.设相互独立,具有相同的几何分布,试求的分布。5.试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。6.试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。7.设相互独立同服从正态分布,试求n维随机向量的分布,并求出其均值向

2、量和协方差矩阵,再求的概率密度函数。8.设X、Y相互独立,且(1)分别具有参数为(m,p)及(n,p)的二项分布;(2)分别服从参数为的分布。求X+Y的分布。9.已知随机向量(X,Y)的概率密度函数为试求其特征函数。10.已知四维随机向量服从正态分布,均值向量为0,协方差矩阵为,求。11.设X1,X2和X3相互独立,且都服从,试求随机变量和组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。12.设X1,X2和X3相互独立,且都服从,试求:(1)随机向量(X1,X2,X3)的特征函数;(2)设,求随机向量(S1,S2,S3)的特征函数;(3)和组成的随机向量(Y1,Y2)的特征函数。

3、13.设(X1,X2,X3)服从三维正太分布,其中协方差矩阵为,且。试求。14.设相互独立同服从正态分布。试求的期望。15.设X、Y是相互独立同分布的随机变量,讨论和的独立性。16.设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量,讨论和的独立性。17.设二维随机变量的概率密度函数分别如下,试求。(1)(2)18.设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量,X服从区间[0,1]上的均匀分布,Y服从参数为的指数分布。求(1)X与X+Y的联合概率密度函数;(2)D(X

4、Y=y)。19.设Xn,n=1,±1,±2,…是一列随机变量,且,其中K是正常数。试求:(1)当K>1时,X

5、n几乎肯定收敛于0;(2)当K>2时,Xn均方收敛于0;(3)当K>3时,Xn不均方收敛于0。20.设,试证明。习题二1.设X(i=1,2,3,…)是独立随机变量列,且有相同的两点分布,令,,试求:(1)随机过程{Y(n),n=0,1,2,…}的一个样本函数;(2)P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值;(3)P[Y(n)=k];(4)均值函数;(5)协方差函数。2.设,其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量,是常数,,试求:(1)X(t)的一个样本函数;(2)X(t)的一维概率密度函数;(3)均值函数和协方差函数。3.设随机过程。其中,是相互独立的随机变量,且

6、。(1)求{X(t)}的均值函数和相关函数;(2)证明{X(t)}是正太过程。4.设是参数的Wiener过程,求下列过程的均值函数和相关函数:(1);(2);(3);(4)。5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流,每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关,若是购买商品的顾客流,证明是强度为的Poisson流。6.在题5中,进一步设是不购买商品的顾客流,试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明:(1)是强度为的Poisson流;(2)在的任一到达时间间隔内,恰有k个时间发生的概率为8

7、.设是Poisson过程,和分别是的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明:(1);(2)。9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流,平均每小时接到3次电报,求:(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率;(2)下午第一个电报的到达时间的分布。10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程,令,求的均值函数与相关函数。11.设是强度为的Poisson过程,T是服从参数为的指数分布的随即变量,且与{}独立,求[0,T]内事件数N的分布律。习题三1.证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。2.设,是独立同分布的随机变量序列,均值为μ,方

8、差为1,定义。证明。3.研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。(1),其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量,均值为a、b,方差为、;(2),其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量,均值为a、b、c,方差为、、;(3)是Poisson过程;(4)是Wiener过程.4.试研究上题中过程的均方可导性,当均方可导时,试求均方导数过程的均值函数和相关函数。5.求下列随机过程的均值函数和相关函数,从而判断其均方连续性和均方可微性。(1),其中是常数,服从[0,2π]上的均匀分布;(2),其中是参数为1的Wiener过程

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