一阶常微分方程解法 一阶常微分方程初等解法

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1、一阶常微分方程解法一阶常微分方程初等解法导读：就爱阅读网友为您分享以下“一阶常微分方程初等解法”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!一阶常微分方程初等解法摘要:本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.关键词:一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子First-orderDifferentialEquationWithThePirmaryMethodFor9NalysisAbstract:Basedont

2、hefirst-orderdifferentialequationsoftheelementarysolutionoftheinductionandconclusion,andtheseparationofvariables,integratingfactor,equations,etc.summaryanalysisofvariouselementarysolution,combinedwithexamplestheproblemofsolvingordinarydifferentialequationsintointegralontheproblem

3、solving.KeyWords:First-orderdifferentialequation;caindeclinedequations;variabletransformation;appropriatedifferentialequation;integratingfactor1.预备知识1.1变量分离方程形如dy?f(x)?(y)(1)dx9的方程，称为变量分离方程，f(x)，?(y)分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果?(y)?0，我们可将(1)改写成了.两边积分，得到dy??(y)??f(x)dx?c，dy?f(x)dx，

4、这样变量就分离开来?(y)c为任意常数．由该式所确定的函数关系式y?y(x,c)就是常微分方程(1)的解．1.2积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念．如果存在连续可微函数????x,y??0，使得??x,y?M?x,y?dx???x,y?N?x,y?dy?0为一恰当微分方程，即存在函数u，使9?Mdx??Ndy?du，则称??x,y?为方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0的积分因子．函数??x,y?为M?x,y?dx?N?x,y?dy?0积分

5、因子的充要条件是?(?M)?(?N)?，?y?x即N?????M?N?M?(?)?．?x?y?y?x???0，则?为原方程的积?x假设原方程存在只与x有关的积分因子????x?，则(?M?N?)???M?N?y?x?(?)?，即??x??分因子的充要条件是仅是关于x的函N?x?y?x数．此时可求得原方程的一个积分因子为??e?9(??x?dx．同样有只与y有关的积分?M?N?)?y?x因子的充要条件是??y??是仅为y的函数，此时可求得方程(11)的一?M个积分因子为??e???y?dy1.3恰当微分方程考虑微分形式的一阶微分方程M?x,y?dx?N?x

6、,y?dy?0(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数u?x,y?的全微分，即M?x,y?dx?N?x,y?dy?du?x,y???u?udx?dy?x?y则称(11)为恰当微分方程．对于一阶微分方程M?x,y?dx?N?x,y?dy?0，若有?M?N，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微??y?x?u?M?x,y?看作只关于自变量x的函数，对它积分可?x分方程的解．我们可以把9得u??M?x,y?dx???y?，由此式可得d??y??u?，??M?x,y?dx??x?xdy又因为有?u?N?x,y?，故?xd??y???N??M?x

7、,y?dx，dy?x对该式积分可得??y????N?????Mx,ydxdy，????x??将该式代入，得恰当微分方程的通解为???Mx,ydx?N?Mx,ydxdy?c．??????????x??2.基本方法2.1一般变量分离9形如dy?f(x)?(y)(1)dx的方程，称为变量分离方程，f(x)，?(y)分别是x，y的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果?(y)?0，我们可将(1)改写成两边积分，得到dy?f(x)dx，这样变量就分离开来了.?(y)dy??(y)??f(x)dx?c，c为任意常数．由该式所确定的函数关系式y?y(x,c)就是常微

8、分方程(1)的解．2.2齐次微分方程2.2.1齐次微分方程类型一一阶线性微分方程