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1、第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算内容要点一、向量的概念.二、向量的线性运算：向量的加减法,向量与数的乘法三、定理1设向量,那末向量平行于的充分必要条件是:存在唯一的实数,使.定理1是建立数轴的理论依据.我们知道，确定一条数轴,需要给定一个点、一个方向及单位长度.由于一个单位向量既确定了方向,又确定了单位长度,因此,只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.例题选讲例1化简例2在平行四边形ABCD中,设试用和表示向量和,这里M是平行四边形对角线的交点。例3在x轴上取定一点O作为坐标原点.设A,B是x轴上坐标依次为的
2、两个点,是与x轴同方向的单位向量,证明课堂练习1.已知平行四边形ABCD的对角线试用表示平行四边形四边上对应的向量.2.在中,D是BC上的一点,若证明D是BC的中点.第二节空间直角坐标系向量的坐标内容要点：一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离三、向量的坐标表示四、向量的代数运算五、向量的模与方向余弦六、向量在轴上的投影例1求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.例2设P在x轴上,它到的距离为到点的距离的两倍,求点P的坐标。{}例3设求在y轴上的分向量.{13，}例4已知两点和以及实数试在有向线段上求一点，使.{}例5求平行于向
3、量的单位向量.{}例6已知两点和，求与向量平行的向量的单位向量.例7已知两点和,计算向量的模、方向余弦和方向角.{6.7.；}例8设有向量,已知它与x轴和y轴的夹角分别为和,如果的坐标为(1,0,3),求的坐标.{}例9设点位于第卦限,向径与轴、轴的夹角依次为和，且求点的坐标.{}例10(设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求在方向上的投影{}课堂练习1.给定两点:在轴上有一点,满足求点的坐标.2.从点沿向量方向取长为34的线段,求点的坐标.第三节数量积向量积内容要点一、两向量的数量积定义1设有向量、，它们的夹角为，乘积称为向
4、量与的数量积（或称为内积、点积），记为，即.根据数量积的定义，可以推得：（1）;（2）;（3）设、为两非零向量，则的充分必要条件是.数量积满足下列运算规律：（1）交换律（2）分配律（3）结合律,二、两向量的向量积定义2若由向量与所确定的一个向量满足下列条件：（1）的方向既垂直于又垂直于,的指向按右手规则从转向来确定；（2）的模，(其中为与的夹角)，则称向量为向量与的向量积（或称外积、叉积），记为.根据向量积的定义，即可推得（1）；（2）设、为两非零向量，则的充分必要条件是.向量积满足下列运算规律:（1）（2）分配律（3）结合律,（为实
5、数）.例题选讲例1已知求(1)(2)与的夹角;(3)与上的投影.例2证明向量与向量垂直.例3试用向量方法证明三角形的余弦定理.例4设与垂直,与垂直,求与之间的夹角.例5设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设n为垂直于S的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为).{}例6求与都垂直的单位向量.例7在顶点为和的三角形中,求AC边上的高BD.例8设向量两两垂直,伏隔右手规则,且计算例9设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.例10利用向量积证明
6、三角形正弦定理.例11已知,计算例12已知空间内不在同一平面上的四点求四面体的体积.例13已知,求一单位向量使,且与此同时共面.课堂练习1.已知向量证明2.已知两两垂直,且求的长度与它和的夹角.第四节曲面及其方程内容要点空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面例题选讲例1建立球心在点、半径为R的球面方程.例2求与原点O及的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程.例3已知求线段的垂直平分面的方程.例4方程表示怎样的曲
7、面？例5方程的图形是怎样的?例6将坐标面上的曲线分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.例7直线L绕另一条与L相交的定直线旋转一周,所得旋转曲面称为叫圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角称为圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.课堂练习1.求与z轴和点等距离的点的轨迹方程.2.指出方程所表示的曲线.第五节空间曲线及其方程内容要点一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影例题选讲例1方程组表示怎样的曲线?例2方程组表示怎样的曲线?例3若空间一点M
8、在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、v是常数),则点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.例4求曲线在坐标面上的投影方程.例5求抛物面与平面的截线在三个坐标面上的投影曲线方程
