np难问题求解综述

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1、NP难问题求解综述摘要：定义NP问题及P类问题，并介绍一些常见的NP问题，以及NP问题的一些求解方法，最后最NP问题求解的发展方向做一些展望。关键词：NP难问题P类问题算法最优化问题正文：一，NP难问题及P类问题为了解释NP难问题及P类问题，先介绍确定性算法和非确定性算法这两个概念，设A是求解问题Π的一个算法，如果在算法的整个执行过程中，每一步只有一个确定的选择，则称算法A是确定性（Determinism）算法。设A是求解问题Π的一个算法，如果算法A以如下猜测并验证的方式工作，就称算法A是非确定性（Nondeterminism）算法：（1）猜测阶段：在这个阶段，对问题的输入实例产生一个任意字符

2、串y，在算法的每一次运行时，串y的值可能不同，因此，猜测以一种非确定的形式工作。（2）验证阶段：在这个阶段，用一个确定性算法验证：①检查在猜测阶段产生的串y是否是合适的形式，如果不是，则算法停下来并得到no；②如果串y是合适的形式，则验证它是否是问题的解，如果是，则算法停下来并得到yes，否则算法停下来并得到no。什么是NP难问题，如果对于某个判定问题Π，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实例，能够以O(nk)的时间运行一个非确定性算法，得到yes或no的答案，则该判定问题Π是一个NP类（NondeterministicPolynomial）问题。令Π是一个判定问题，如果对于NP类问题中的

3、每一个问题Π'，都有Π'∝pΠ，则称判定问题Π是一个NP难问题。什么是P类问题，如果对于某个判定问题Π，存在一个非负整数k，对于输入规模为n的实例，能够以O(nk)的时间运行一个确定性算法，得到yes或no的答案，则该判定问题Π是一个P类（Polynomial）问题。所有易解问题都是P类问题。P类问题和NP类问题的主要差别：P类问题可以用多项式时间的确定性算法来进行判定或求解；NP类问题可以用多项式时间的非确定性算法来进行判定或求解。二，常见的NP类问题上面介绍了什么是NP问题，下面我将介绍我查阅到的一些常见的NP问题，他们同时也是著名的NP问题。①，图着色问题：按图中所示方式将16条边着色，

4、那么不管你从哪里出发，按照“蓝红红蓝红红蓝红红”的路线走9步，你最后一定达到黄色顶点。路线着色定理就是说在满足一定条件的有向图中，这样的着色方式一定存在。严格的数学描述如下。我们首先来定义同步着色。G是一个有限有向图并且G的每个顶点的出度都是k。G的一个同步着色满足以下两个条件：1)G的每个顶点有且只有一条出边被染成了1到k之间的某种颜色；2)G的每个顶点都对应一种走法，不管你从哪里出发，按该走法走，最后都结束在该顶点。有向图G存在同步着第3页共3页色的必要条件是G是强连通而且是非周期的。一个有向图是非周期的是指该图中包含的所有环的长度没有大于1的公约数。路线着色定理这两个条件(强连通和是非周

5、期)也是充分的。也就是说,有向图G存在同步着色当且仅当G是强连通而且是非周期的。②，哈密顿回路问题：天文学家哈密顿(WilliamRowanHamilton)提出，在一个有多个城市的地图网络中，寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径。这个问题和著名的过桥问题的不同之处在于，某些城市之间的旅行不一定是双向的。比如A→B,但B→A是不允许的。换一种说法，对于一个给定的网络，确定起点和终点后，如果存在一条路径，穿过这个网络，我们就说这个网络存在哈密顿路径。哈密顿路径问题在上世纪七十年代初，终于被证明是“NP完备”的。据说具有这样性质的问题，难于找到一个有效的算法。实际上对

6、于某些顶点数不到100的网络，利用现有最好的算法和计算机也需要很长的时间（可能要几百年之久）才能确定其是否存在一条这样的路径。③，TSP问题：旅行商问题，即TSP问题（TravelingSalesmanProblem）是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路经的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。TSP问题是一个组合优化问题。该问题可以被证明具有NPC计算复杂性。上面三个即是非常著名的NP问题，也是比较常见的NP问题。它们的求解算法非常复杂，要寻找到一个最优算法需要花费很

7、长的时间，但正因为这些问题的复杂性，使得它们备受人们的关注。当然NP问题本身也是世界七大数学难题之一。三，求解NP类问题的常见方法对于那些棘手的NP问题，我们也并非束手无策，有一些方法可供我们去探究NP问题。①，近似算法：所有已知的解决NP难问题算法都有指数型运行时间。但是，如果我们要找一个“好”解而非最优解，有时候多项式算法是存在的。给定一个最小化问题和一个近似算法，我们按照如下方法评价算法：首