2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

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1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数有最小值,则函数的零点个数为()A.B.C.D.取决于的值答案:注意,答案C.2.已知的三个内角所对的边为.下列条件中,能使得的形状唯一确定的有()A.B.C.D.答案:对于选项A,由于,于是有唯一取值2,符合题意;对于选项B,由正弦定理,有,可得,无解;对于选项C,条件即,于是,不符合题意;对于选项,由正弦定理,有,又,于是,符合题意.答案:AD.3.已知函数,下列说法中正确的有()A.在点处有公切线B.存在的某条切线与的某条切线平行C.有且只有一个交点D.有且只有两个交点答案:注意到为

2、函数在处的切线,如图,因此答案BD.4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,为线段的中点.10下列说法中正确的有()A.以线段为直径的圆与直线一定相离B.的最小值为C.的最小值为D.以线段为直径的圆与轴一定相切答案:对于选项A,点到准线的距离为,于是以线段为直径的圆与直线一定相切,进而与直线一定相离;对于选项B,C,设,则,于是,最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值;对于选项D,显然中点的横坐标与不一定相等,因此命题错误.答案:AB.5.已知是椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点.下列说法中正确的有()A.时,满足的点有两个

3、B.时,满足的点有四个C.的周长小于D.的面积小于等于答案:对于选项A,B,椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点;对于选项C,的周长为;对于选项D,的面积为.答案:ABCD.6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛,有两花获奖.比赛结果揭晓之前,四个人作了如下猜测:甲:两名获奖者在乙、丙、丁中;10乙:我没有获奖,丙获奖了;丙:甲、丁中有且只有一个获奖;丁:乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两个获奖者是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案:乙和丁同时正确或者同时错误,分类即可,答案:BD.7.已知为圆的一条弦(非直径),于,为圆上

4、任意一点,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点.以下说法正确的有()A.四点共圆B.四点共圆C.四点共圆D.以上三个说法均不对答案:7.对于选项A,即得;对于选项B,若命题成立,则为直径,必然有为直角,不符合题意;对于选项C,即得.答案:AC.8.是为锐角三角形的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:必要性:由于,类似地,有,于是.不充分性:当时,不等式成立,但不是锐角三角形.答案:B.9.已知为正整数,且,那么方程的解的组数为()A.B.C.D.答案:由于,故.若,则,可得;若,则,可得;

5、10若,则,进而解得;若,则,可得.答案:B.10.集合,任取这三个式子中至少有一个成立,则的最大值为()A.B.C.D.答案:不妨假设,若集合中的正数的个数大于等于4,由于和均大于,于是有,从而,矛盾!所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数.取,满足题意,所以的最大值为7.答案B.11.已知,则下列各式中成立的有()A.B.C.D.答案:令,则,所以,以上三式相加,即有.类似地,有,以上三式相加,即有.答案BD.12.已知实数满足,则10的最大值也最小值乘积属于区间()A.B.C.D.答案:设函数,则其导函数,作出的图象,

6、函数的图象在处的切线,以及函数的图象过点和的割线,如图,于是可得,左侧等号当或时取得;右侧等号当时取得.因此原式的最大值为,当时取得;最小值为,当时取得,从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B.13.已知,则下列结论正确的有()A.的最大值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最小值为答案:由可得.设,则是关于的方程的三个根.令,则利用导数可得,所以,等号显然可以取到.故选项A,B都对.因为,所以,等号显然可以取到,故选项C错误.答案ABD.14.数列满足,对任意正整数,以下说法中正确的有()A.为定值B.或C.为完全平方数D.为完全平方数

7、10答案:因为.所以A选项正确;由于,故,又对任意正整数恒成立,所以,故选项C,D正确.计算前几个数可判断选项错误.答案:ACD.说明:若数列满足,则为定值.15.若复数满足,则可以取到的值有()A.B.C.D.答案:因为,故,等号分别当和时取得.答案CD.16.从正2016边形的顶点中任取若干个,顺次相连构成多边形,若正多边形的个数为()A.B.C.D.答案:从2016的约数中去掉1,2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出个构成正多边形,这样的正多边形有个,因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去20

8、16和1008.考虑到,因此所求正多边形的个数为.答案C.17.已知椭圆与直线,过椭圆上一点作的平行线,分别交于两点.若为定值,则()A.B.C.D.10答案:设点,可得,故意为

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