高等几何自学指导

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1、《高等几何》（第二版）自学指导Ⅱ目录·第七章二次曲线的仿射性质·第八章二次曲线的度量性质9第七章二次曲线的仿射性质本章主要内容如下（所讨论的二次曲线非退化）：一、中心1、定义：中心为无穷远直线的极点2、存在性：椭圆、双曲线有唯一中心，抛物线以无穷远点为中心3、性质：平分过中心的弦4、方程：中心是方程组a11x+a12y+a13=0的解a12x+a22y+a23=0二、直径与共轭直径1、定义（1）无穷远点的极线（非无穷远线）称为直径（2）如何两直径之一的极点在另一直径上，则此两直径称为共轭直径。2、存在性（1）二次曲线有无穷多条直径（2）有心二次曲线有共轭直径，无心二次曲线无共轭直

2、径3、性质（1）有心二次曲线的直径过中心，无心二次曲线的直径彼此平行（2）共轭直径平分与另一条直径平行的弦；平行于过另一端点的切线。4、求法：按照定义三、渐近线1、定义：以Γ与l∞的交点为切点的Γ的切线2、存在性：双曲线有两条实渐近线，椭圆有两条虚渐近线，抛物线以无穷远线为渐近线。3、性质：渐近线过中心，且调和分割任一对共轭直径94、求法：（1）见EX72（2）按照定义求四、仿射分类虚椭圆A33≠0椭圆A33＞0有心二次曲线二次曲线双曲线A33＜0A33=0抛物线；无心二次曲线例1判断二阶曲线的类型，试求曲线的中心，并求出过点（0，1，1）的直径及其共轭直径。解，。因为

3、A

4、≠0

5、,A33<0，所以方程表示双曲线，中心为（1，1，－1）设过点（0，1，1）的直径为，于是得所求直径为：设所求共轭直径为9则故共轭直径为：例2求平分二次曲线与直线平行的弦的直径的方程。解与直线平行的弦上的无穷远点为P∞（1，－2，0），所求直径为P∞关于曲线的极线，即例3求双曲线的渐进线方程。解方法一设渐近线的方程为于是有－3k2+2k+1=0解得k1=1，k2=－1/3所以渐近线方程为和化简得方法二A31=1，A32=3，A33=－4所以中心为（－1/4，－3/4），带入渐近线方程分解因式9化简求得两渐进线方程为和9第八章二次曲线的度量性质本章主要内容如下：一、基本概念1、圆点

6、：在直角坐标系下，无穷远线上一对共轭虚点I（1，i,0）和J（1，-i，0）。2、迷向直线：通过圆点的虚直线：y=ix+b,y=-ix+c,它具性质：（1）平行性：迷向直线是两束平行的虚直线（2）极小性：迷向直线上任意两个非圆点的距离为0（3）迷向性：迷向直线与其它直线的交角不定3、拉格尔定理：（1）ɑ=㏑D，其中ɑ=∠(l1,l2),D=(IJ,P∞Q∞),P∞=l1×l∞,Q∞=l2×l∞（2）意义：将“交比”同“角度”有机地联系起来，为用射影几何观点研究欧氏几何开辟了道路。二、度量性质1、主轴和顶点（1）定义：垂直于它所平分的弦的直径，称为主轴；主轴与二次曲线的普通交点称为

7、顶点。（2）存在性：①椭圆、双曲线：有两条主轴，四个顶点②抛物线：有一条主轴，一个顶点③圆：任何直径均为圆的主轴，圆上任何点都是顶点（3）性质：双曲线的两条主轴平分渐近线所成的角（4）方程：椭圆、双曲线的主轴方程为：a11a12a13x（1,k,0）a12a22a23y=0a13a23a33z92、焦点和准线（1）定义：四条迷向切线的有限交点称为焦点，焦点的极线称为准线。（2）存在性：①椭圆、双曲线：有四个焦点，四条准线（两虚两实）②抛物线：有一个焦点，一条准线③圆：有一个焦点（圆点），一条准线（l∞）（3）性质①过焦点的两条共轭直径互垂②二次曲线的任意一条切线与两条定切线的交点

8、在焦点处张成定角（4）求法：先求曲线的迷向切线，再求它们的交点（交点是焦点）。焦点的极线就是准线例1证明圆的任何一对共轭直径都互相垂直。证明如上图已知是圆的一对共轭直径，与交于P，Q，I，J为圆点，根据渐近线的性质，知根据拉盖尔定理的推论可知：例2：证明：在一平面上垂直于同一直线的二直线互相平行。证明设一平面上直线，直线上的无穷远点顺次为因为，所以因为，所以所以因此重合为一点，即二直线有公共的无穷远点，即例3试求二次曲线的主轴方程.解因为9所以方程表示有心二次曲线。解方程即解之，得故所求主轴方程为和化简后得所求主轴方程为例4试求抛物线的主轴和顶点.解因为，代入公式得主轴为即解方程

9、组得顶点之坐标为（3/8，1/8）例5求抛物线的焦点和准线。解将已知方程化成齐次式①9设自和所作二迷向切线之方程为②将②代入①，得③③有重根的条件为解之，得所以，迷向切线方程为和解出它们的交点，得到焦点为F（1，0，2）再求F（1，0，2）关于二次曲线的极线，得到准线为9