随机信号分析第一章 - 马氏过程

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1、参考资料：•《概率论与数理统计》，工程数学，先修课教材•《随机信号分析》，朱华等编，北京理工大学出版社•《随机信号分析解题指南》，李永庆等编，北京理工大学出版社•《概率、随机变量与随机过程》，[美]A·帕普里斯著•研究生系列教材《随机过程》，张卓奎、陈慧婵编著，西安电子科技大学出版社第一章随机过程马尔可夫过程的概念当随机过程在时刻所处的状态为已知的条件下，过程在时刻所处的状态，与过程在时刻以前所处的状态无关，而仅与过程在时刻的状态有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效性”或

2、马尔可夫性。根据时间Ｔ和状态Ｅ的取值，马尔可夫过程分为四类：时间集Ｔ状态集Ｅ分类连续连续马尔可夫过程连续离散可列马尔可夫过程离散连续马尔可夫序列离散离散马尔可夫链状态可列的马尔可夫链称为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。规定一随机变量序列，可把此序列看作连续型随机过程à采样à称为随机变量序列也记作或，简记为或。状态连续定义：若对于任意的，有（1）写成概率形式即，如果在条件下的条件分布，等于仅在条件下的条件分布，则称此随机变量序列为马尔可夫序列。这一分布函数常称为转移分布。概率

3、论回顾：为在下的条件分布函数。对于连续型随机变量，由（1）式可得（2）这样，有（3）即，的联合概率密度可由初始概率密度和转移概率密度来确定。相反地，若（3）式对所有皆成立，则序列是马尔可夫序列，这是因为1.6马尔可夫链1.6.1马尔可夫链的基本概念1．马尔可夫链的定义时间离散、状态离散定义34：设为一随机变量序列，其状态空间，若对于任意的，满足则称该序列为马尔可夫链（简称马氏链）。含义：（1）此序列可看作是对随机过程的采样，所可能取的状态为之一，而且只在时刻发生状态转移。（2）过程在时刻变成状态的

4、概率，只与时刻的状态有关，而与以前时刻的状态无关。2．马尔可夫链的转移概率及性质对于马氏链，描述它的概率性质最重要的是它在时刻的转移概率。通常，我们用表示在时刻出现的条件下,时刻出现的条件概率。一般而言，不仅与有关，而且与有关。若与无关，则称该马氏链为齐次马氏链，此时可表示为。下面仅对齐次马氏链进行讨论。1)一步转移概率在齐次条件下，时，有===>马氏链由状态经一步转移到此即一步转移概率。由所有一步转移概率构成的矩阵称为一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。这一矩阵给出了随机变量序列状态转移的概率特

5、性。转移概率矩阵的性质：（1）<====由于是条件概率，所以由概率的性质可知上式成立。（2）<====注意：是必然事件S。对必然事件S，有。只有两两互不相交事件才有。

6、易知表明：马氏链时从状态出发，而下一步必然到达中状态之一。对应于转移概率矩阵，可知转移概率矩阵的每一行的元素之和为1。1)步转移概率之前给出了时刻的转移概率：在齐次条件下，时，可得到步转移概率表示马氏链由状态经过步转移到的概率。由所有步转移概率可构成步转移概率矩阵步转移概率类似于一步转移概率具有下列性质：（1）；（2）证明类似于一步

7、转移概率的证明方法。为了数学处理便利，通常规定1)切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）对于步转移概率，有如下的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程的离散形式表明：由于马氏链的无后效性和齐次性，该链从状态经过步转移到的概率可等效为先由状态经过步到达中间状态，再由状态经过步到达状态的概率和。证明：注意：是必然事件若S是必然事件，则有；只有两两互不相交事件才有由概率的乘法定理公式知，可得证毕。若用概率矩阵表示，有：当时，有：同理，当时，有：即任意步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵自乘次来得到。例1-15在某数字通

8、信系统中多级传输0、1两种数字信号。由于系统中存在干扰，在任一级输入0、1数字信号后，其输出不产生错误的概率为，产生错误的概率为，求两级传输时的概率转移矩阵。解：系统每一级的输入状态和输出状态构成一个两状态的马氏链，其一步转移概率矩阵为于是，两级传输时的概率转移矩阵等效于两步转移概率矩阵为例1-16已知明日是否降雨只与今日的天气(是否有雨)有关，而与以往的天气无关。设有雨为状态“1”，而无雨为状态“0”，并且今日有雨而明日有雨的概率为，今日无雨而明日有雨的概率为。试求其一步至四步转移概率矩阵；并求

9、今日有雨而后日（第二日）仍有雨、今日无雨而第四日有雨的概率各为多少？解：由题意可知，本例构成一个两状态的马氏链。其一步转移概率矩阵为二步转移概率矩阵为三步转移概率矩阵为四步转移概率矩阵为今日有雨而第二日仍有雨的概率为今日无雨而第四日有雨的概率为例1-17设每次打靶击中的概率为，每次打靶未击中的概率为，试写出可列多次相互独立的打靶试验的一步转移概率矩阵。解：可列多次独立的打靶试验定义了一个离散时间、离散状态（“0”表示未击中；“1”表示击中）的随机过程其一转移概率为即与过去或现在的状