反三角函数及性质

《反三角函数及性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、y=arcsinx.函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]的反函数叫做反正弦函数，记作x=arcsiny.习惯上用x表示自变量，用y表示函数，所以反正弦函数写成y=arcsinx.的形式请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-π/2，π/2]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。理解函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值。这点必须牢记性质根据反函数的性质，易得函数y=a

2、rcsinx的，定义域[-1，1]，值域[－π/2，π/2]，是单调递增函数图像关于原点对称，是奇函数所以有arcsin(-x)=-arcsinx，注意x的取值范围:x∈[-1，1]导函数：，导函数不能取

3、x

4、=1，反正弦恒等式sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)arcsinx=-arcsin(-x)arcsin（sinx)=x，x属于[0，π/2]arccosx反三角函数中的反余弦。意思为：余弦的反函数，函数为y=arccosx，函数图像如右下图。就是已知余弦数值，反求角度，如cos

5、(a)=b，则arccos(b)=a；它的值是以弧度表达的角度。定义域：【-1，1】。由于是多值函数，往往取它的单值支，值域为【0，π】，记作y=arccosx，我们称它叫做反三角函数中的反余弦函数的主值，arctanx反三角函数中的反正切。意思为：tan(a)=b;等价于arctan(b)=a定义域:{x∣x∈R},值域：y∈（-π/2,π/2)计算性质：tan(arctana)=aarctan(-x)=-arctanxarctanA+arctanB=arctan(A+B)/(1-AB)arctanA-arctanB=arctan(A

6、-B)/(1+AB)反三角函数在无穷小替换公式中的应用：当x→0时，arctanx~x是一种数学术语。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。2数学术语编辑为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在

7、-π/2

8、，该角的范围在[0，π]区间内。【图中蓝线】⑶正切函数y=tanx在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。arctanx表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]图象用深红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1]，值域[0，π]，图象用深蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用浅绿色线条

9、；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），暂无图象；sin(arcsinx)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccosx)=x，arccos(-x)=π-arccosxtan(arctanx)=x，arctan(-x)=-arctanx绿的为y=arccot(x)红的为y=arctan(x)[1]绿的为y=arccos(x)红的为y=arcsin(x)

10、[1]3公式编辑反三角函数其他公式：cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarc