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1、量子力学量子力学知识总结物理111杨涛认真、努力、坚持、反思、总结…请勿外传
2、物理111杨涛37量子力学量子力学知识点小结一、绪论1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为和3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、、4.自由粒子的波函数5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计解释（物理意义）A.波函数的统计解释。B.波函数的统计解释位置处单位体积没找到粒子的几率。例：已知体系处于波函数所描写的状态，则在区间内
3、找到粒子的概率是.已知体系处于波函数所描写的状态，则在球壳内找到粒子的概率是，在立体角内找到粒子的概率是.（注：）请勿外传
4、物理111杨涛37量子力学（二）态叠加原理：如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加（为复数）也是这个体系可能的状态。含义：当体系处于和的线性叠加态（为复数）时，体系既处于态又处于态，对应的概率为和.（三）概率密度（分布）函数（四）薛定谔方程：问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的.2.薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的（五）连续性方程：问题：波函数的标准条件单值、
5、连续、有界。（六）定态薛定谔方程：请勿外传
6、物理111杨涛37量子力学即：定态的特点：（1）粒子的几率密度和几率流密度与时间无关∵（2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证）（3）各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符于是定态薛定谔方程可写为：这种类型的方程称为本征值方程，被称为算符的本征值，称为算符的本征方程。讨论定态问题，就是要求出（或）和，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：为常数。（七）一维无限深势阱问题设粒子的势能：在势阱外[]（1）在势阱内：因为，所以其定态薛定谔方程为：（2）请勿外传
7、物理111杨涛3
8、7量子力学令（3）则方程（2）可化为标准形式：（4）其通解为：（5）式中，为两个待定常数，单从数学上看，为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有（6）（7）由（5）式和（6）式得：令波函数不能恒为零，而不能为零，所以必须，于是（8）再根据（7）式得所以必须满足：取负数给不出新的波函数。这告诉我们k只能取下列值(9)由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值：(10)将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为的波函数。请勿外传
9、物理111杨涛37量子力学（11）注：，波函数无意义（11）式中A可由归一
10、化条件确定知：最后得到能量为的归一化波函数为：总结：1、可得：2、可得：请勿外传
11、物理111杨涛37量子力学3、可得：问题：粒子在一维无限深势阱中运动时，若阱宽减小，则其能级间隔会增大.（八）一维线性谐振子问题：一维线性谐振子的势能：定态薛定谔方程：令：最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为：与之相应的波函数为：归一化因子其中：为厄米多项式且有：请勿外传
12、物理111杨涛37量子力学小结：一维线性谐振子：一维线性谐振子的基态能量与对应的波函数问题：1.线性谐振子能量的本征方程是或.定义算符：请勿外传
13、物理111杨涛37量子力学克罗内克符号：对线性谐振
14、子：注：上述算符仅适用于线性谐振子2.设是一维线性谐振子的波函数，则有：00三、量子力学中的力学量（一）线性算符若则称为线性算符，其中为两个任意函数，是常数（复数）.（二）厄米算符如果对于任意两个函数和，算符满足下列等式：则称为厄米算符.注：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄请勿外传
15、物理111杨涛37量子力学密算符，除非两者可以对易。在量子力学中刻划力学量的算符都是线性厄米算符（三）算符的本征值和本征函数如果算符作用在一个函数，结果等于乘上一个常数：本征方程则称为的本征值，为属于的本征函数本征方程的物理意义：如果算符表示力学量，
16、那么当体系处于的本征态时，力学量有确定值，这个值就是在态中的本征值。（四）常用力学量的算符表示：算符与力学量的关系：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数描写的状态时，测量力学量所得的数值，必定是算符的本征值之一，测得的概率是.（）坐标表象下：（五）动量算符和角动量算符1.动量算符：动量算符的本征值方程请勿外传
17、物理111杨涛37量子力学2.角动量算符角动量平方算符与角动量分量算符的本征函数和本征值球谐函数是角动量平方算符与角动量分量算符共同的本征函数.（不做记忆要求）因此角动量平方算符与角动量分量算符的本征值分
18、别为和，其中称为角量子数称为磁量子数.简并：对于一个本征值有一个以
