《微积分》(下)复习大纲

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1、《微积分》（下）教案第六章定积分教学目的和要求：1、了解定积分的概念及存在定理，理解定积分的基本性质和中值定理2、掌握牛顿-莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法4、理解定积分的应用并掌握它们的求法重点：1、牛顿-莱布尼兹公式2、定积分的换元法和分部积分法难点：1、定积分的概念2、积分上限函数的概念与应用3、定积分的换元法和分部积分法中的技巧第一节定积分的概念和性质教学目的和要求：1、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念，从中领会从有限到无限、特殊到一般的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题的能力。2

2、、使学生掌握定积分的概念和存在定理，并通过例题使学生学会如何处理和解决相应的数学问题。3、理解定积分的基本性质和中值定理重点：定积分的概念教学过程：一、问题的提出1、几何上，曲边梯形的面积35（1）曲边梯形的特征（2）面积的计算方法2、物理上，变速直线运动的路程注：让学生比较两个问题的共性（1）解决问题步骤相同（2）所求量的结构式相同二、定积分的定义1、定义注意问题（1）在定义中，区间的划分和点选取的任意性（2）所划分的区间长度的最大值趋于零和所分区间无穷多之间的关系（3）定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量的写法无关(4)定积分的实质是特殊和式的极限2、定积分存在的条件3、定

3、积分的几何意义四、小结教学目的和要求：1、理解定积分的基本性质和中值定理2、使学生能用定积分的性质进行估值、比较大小重点：定积分的基本性质教学过程：一、定积分的性质1、线性性质（1）2、线性性质（2）3、区间可加性4、用定积分求矩行面积的公式5、定积分的不等式性质6、定积分的估值不等式357、定积分的中值定理注意问题：（1）可以把理解为在上的平均值二、例题分析例1：估计积分的值注：本题考察估值不等式性质例2：估计积分的值注：本题在考察估值不等式性质的同时，复习了求最值的方法例3：比较和的值注：本题考察不等式性质三、小结第一节微积分基本定理教学目的和要求：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2

4、、掌握微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），会用这个公式求一些函数的定积分重点：1、积分上限函数的定义及其性质2、牛顿--莱布尼茨公式教学过程：一、问题的引入1、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系二、积分上限函数的定义及其性质1、积分上限函数的定义2、积分上限函数的性质注意问题（1）积分上限函数的导数公式的几种重要变形353、原函数存在定理注意问题(1)定理的一个意义在于肯定了连续函数的原函数是存在的(2)定理的另一意义在于揭示了定积分与原函数之间的关系三、牛顿--莱布尼茨公式注意问题（1）求定积分实际上转化为求原函数的问题四、例题分析例1：求下列定积分(1)（2）注：本题考察牛

5、顿--莱布尼兹公式例2：求下列函数的导数注：本题考察积分上限函数的性质例3：计算曲线y=sinx在上与x轴所围成的平面图形的面积注：本题考察牛顿--莱布尼兹公式的应用，并同时考察定积分的几何意义例4：，求注：本题考察定积分的区间可加性例5：求注：本题考察积分上限函数的导数和洛必达法则例6：设在内连续，且，求证：函数在内为单调增加函数注：本题考察商的导数，积分上限函数导数，单增函数的判定，引导学生将所学知识有机结合五、小结第一节定积分的换元法35教学目的和要求：1、使学生掌握定积分的换元法重点：1、定积分的换元法教学过程：一、定积分的换元法注：(1)第一类换元积分法：新变量不必明显引入，不涉

6、及到积分限的问题(2)第二类换元积分法：需引入新的变量，而且换元要换限二、例题分析例1：计算注：本题考察定积分换元法，可以不必引入新变量例2：计算注：本题考察定积分换元法，不必引入新变量，由于开方加绝对值，还要应用区间可加性例3：计算注：本题考察定积分换元法，需要引入新变量，换元要换限例4：当f(x)在上连续，且①f(x)为偶函数，则②f(x)为奇函数，则注：本题结果可以作为结论使用，但要注意必须满足三个条件：连续、奇偶函数、对称区间例5：计算注：例3的应用例6：若在上连续，证明(1)35(2)，由此计算注：本题可作为结论用四、小结●定积分的分部积分法教学目的和要求：1、使学生掌握定积分的

7、分部积分法重点：1、定积分的分部积分法教学过程：一、定积分的分部积分法注：定积分分部积分法与不定积分的分部积分法之区别二、例题分析例1：计算注：本题考察定积分分部积分法例2：计算注：本题考察定积分分部积分法，要进行适当变形例3：计算注：本题可以采用两种方法，一是运用分部积分法；一是运用换元法，可以比较选用例4：证明定积分公式注：本题结果可以作为结论使用例5：设求注：本题考察分部积分法和积分上限函数性质35三、小结第一节广