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1、实变分析h137§1.2映射可数集与基数教学目的继续介绍集合论的基础内容,如映射,基数,可数集与不可数集等.本节要点一一对应的思想与方法贯穿本节的核心.基数的概念.可数集的讨论,都要用的一一对应的方法.证明两个不同的集对等,从而具有相同的基数,特别地,要证明一个集是可数集,有时需要一定的技巧,因而具有一定的难度,通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握其方法和技巧.映射在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.在数学分析中函数的定义域通常是nR的子集,值域是实数集或者复数集.若将函数的定义域和值域换成一般的集,就得到映射的概念.定义1设,XY是两个非
2、空集.f是某一法则，使得按照这个法则,对每个,Xx∈有唯一的的Yy∈与之对应,则称f为从X到Y的映射,记为.:YXf→当y与x对应时,称y为x在映射f下的像,记为).(xfy=称X为f的定义域.在上述定义中,若Y是实数集或复数集,习惯上仍称f为函数.设A为X的子集.称Y的子集)}(,:{xfyAxy=∈使得存在为A在映射f下的像,记为).(Af特别地,称)(Xf为f的值域.设B是Y的子集.称X的子集})(:{Bxfx∈为集B在映射f下的原像,记为).(1Bf?在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射.除此之外,我们还经常会遇到许多其它的映射.
3、例如,定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射,求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射,线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.设YXf→:是X到Y的映射.若,)(YXf=则称f为到上的(或满射).若当21xx≠时，),()(21xfxf≠则称f是一一的(或单射).如果f是X到Y的一一的到上的映射,有时我们称f是X与Y之间的一个一一对应.8映射的逆与复合设f是X到Y的一一的到上的映射.则对每个,Yy∈存在唯一的Xx∈使得.)(yxf=因此我们可以定义一个Y到X的映射g如下:对每个,Yy∈令,)(xyg=其中x是X中的唯一存在的
4、满足yxf=)(的元.称这样定义的映射g为f的逆映射,记为.1?f显然逆映射是反函数概念的推广.若f是X到Y的一一的到上的映射,则由逆映射的定义知道成立以下等式:.,))((,,))((11YyyyffXxxxff∈=∈=??设YXf→:和ZYg→:分别是X到Y的和Y到Z的映射.令.)),(()(Xxxfgxh∈=则h是X到Z的映射.称h为f与g的复合映射,记为.fgnull显然复合映射是复合函数概念的推广.利用复合映射的记号,(1)式可以写成.,11YXiffiff==??nullnull其中Xi和Yi分别为X和Y上的恒等映射.设A是X的子
5、集,f和f~分别是A到Y的和X到Y的映射.若对每个Ax∈成立),()(~xfxf=则称f~是f在X上的延拓,称f是f~在A上的限制,记为.~Aff=定义2设BA,是两个非空集.若存在一个从A到B的一一的到上的映射,则称A与B是对等的,记为A~.B此外规定?~.?A与B是对等就是两个集的元素可以建立一一对应的关系.对等关系具有如下性质:).i(A~.A(反身性).).ii(若A~,B则B~.A(对称性).).iii(若A~,BB~,C则A~.C(传递性).基数有时我们需要比较两个集的元素的多与少.对于有限集,我们可以通过数出每个集的元素的个数的
6、方法比较两个集的元素的多与少.两个无限集是否可以比较元素的多与少?初看起来,既然无限集都有无限多个元素,似乎两个无限集不能比较元素的多与少.现在我们换一种方式来来考虑这个问题.在比较两个有限集的元素的多与少的时候,还可以采用另一种方法,即“一一对应”的方法.如果A与B之间能建立一个一一对应,则A与B具有同样多的元素.如果A与B的一个真子集之间能建立一个一一对应,则A的元素比B的元素少.这种方法也适用于无限集的情形.先看两个例子.例1数集)1,0(与实数集1R对等.对任意),1,0(∈x令π?)21tan()(?=xx.则?是)1,0(到1R的
7、一一对应的映射.因9此)1,0(~1R.(见图2—1).图2—1在例1中,)1,0(是1R的真子集,但)1,0(与1R对等.一个集和自己的一个真子集对等,这在有限集是不可能.可以证明这是无限集的一个特征.由于)1,0(与1R对等,在这个意义下,我们可以说,)1,0(与1R具有一样多的元素.又如圆周去掉一点后与全直线对等.4两个半径不同的圆作为平面上的点集是对等的(图2-2).图2-2例2数集)1,0(与自然数集N不对等.证明首先注意到,区间)1,0(的实数可以表示为十进制无穷小数:null321.0aaax=,Px′XYOxxx′Oπ)21t
8、an(?=xyXYyxO21110其中ia是9,,1,0null中的数字,并且有无限多个ia不为零.例如5.0表示为,499.0null不表示为null500.0.
