第十三章 函数项级数

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1、第十三章函数项级数1函数序列的一致收敛概念1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：⑴,⑵i)ii)⑶⑷i)ii)⑸i)ii)⑹⑺i)ii)iii)⑻⑼⑽⑾⑿i)ii)2．设在上有界，并且在上一致收敛，求证：在上一致有界.3．设定义于，令.求证：在上一致收敛于.4．设在内有连续的导数，且求证：在闭区间上，一致收敛于.5．设在上黎曼可积，定义函数序列求证：在上一致收敛于零.6．参数取什么值时，在闭区间收敛？在闭区间一致收敛？使可在积分号下取极限？7．证明序列在闭区间上收敛，但8．设在一致连续，且在一致收敛于.求证：在上一致连续.9．设是上的连续函数列，且在一致收敛于；又，满足，求证1

2、0．设在内一致收敛于，且.证明：和存在且相等，即.11．设在黎曼可积，且在一致收敛于，证明：在黎曼可积.2函数项级数的一致收敛性及其判别法1．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）：⑴⑵⑶⑷2．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴⑵.3．讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾4．讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻5．证明级数关于在上为一致收敛，但对任何并非绝对收敛；而级数虽在上绝对收敛，但并不一致收敛.6．设每一项都是上的单调函数，如果在的端点为绝对收敛，那么这级数在上一致收敛.7．若的一般项并且在上一致收敛，证明在上也一致收敛且绝对收敛.3

3、和函数的分析性质1．研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻2．求证在内连续，并有连续导函数.3．设求证：⑴在上连续；⑵在内无穷次可微.4．证明在内连续.5．设在内一致收敛，在上连续，求证：⑴在上一致收敛；⑵在上连续.6．设级数收敛，证明.6．证明当时成立，从而证明.7．用有限覆盖定理证明迪尼定理.9．设是内的一个数列，即，且试讨论函数在中的连续性.