机燃油的最优控制问题及其变分求解

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1、摘要：随着科技的进步，人们生活水平的提高，出行方式的便捷，基于效率问题的考虑，越来越多的人在旅游、出差、回家探访等诸多出行问题上，越来越多的将乘坐飞机作为首选的出行方式。然而近年来，燃油价格不断上涨，各航空公司为了争夺市场，在确保安全的情况下，许多航空公司为了降低燃油成本，使用最省油的航线、飞行高度和飞行速度。这样节省了部分能源，降低了运营成本。最优控制是从大量的实际问题中提炼出来的，它尤其与航天航空的指导、导航和控制技术密不可分。在系统工程中，我们通常是给出数值模型，对最优解做出估计，运用变分方法将问题转化，证明解的存在的唯一性，再把得到的理论应用到实际当中去，这有着

2、极其重要的意义而且这将是以后最优控制中越来越被人们关注的问题。在本文中我们介绍了函数极值问题、泛函极值问题和最优控制问题，给出极值点与最优控制的必要条件，阐述了最优控制问题的新进展及他们之间的联系。目前，最优控制理论已经被广泛应用于生产实践中的各个领域。关键词：最优控制泛函变分飞机燃油最省一、最优控制最优控制是现代控制中发展较早的重要组成部分，它是现代控制理论和实践的一个研究热点和中心课题。最优控制理论是在现代科学技术发展的基础上形成的，是现代控制理论的核心。它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。最优化及最优控制技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型

3、以及如何根据数学模型尽快求出其最优解的问题。从数学角度看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这就是要应用到变分学的知识。1.1最优控制问题的实质最优控制问题的实质，就是确定在给定条件下给定系统的控制规律，使得系统在规定的性能指标或者目标函数下具有最优值，也就是说，最优控制就是要寻找可以达到的控制作用或者规律，使动态系统，也就是受控对象从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标或者目标函数达到最大（小）值。如下图所示，在一定的初始状态下，控制装置具有一定的限制作用，使得受控对象可以达到预期的性能指标，最后达到某种要求的终端状态[1]。

4、9初始状态性能最好限制条件要求状态控制作用控制装置受控对象图11.2最优控制问题的解决方案第一步：根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出约束条件和目标函数（性能指标）。第二步：对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化求解方法。并根据最优化方法的算法列出程序框图和编写语言程序，用计算机求出最优解，参与控制系统的动态运算。第三步：加快系统的收敛性，保证系统的误差小于原定的系统性能指标，使系统平稳的工作在最优状态[2]。1.3最优控制问题的性能指标在状态空间中，要使系统的状态由初始状态转移到终端状态。可以用不同的控制规律来实现。为了衡量

5、控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与形式，主要取决于最优控制问题所要完成的任务。因此不同的最优控制问题就应有不同的性能指标，所采用的控制规律不同，系统的某种性能指标值也有所不同，即性能指标是控制作用的函数[3]。性能指标又称为性能泛函、目标函数、评价函数。二、泛函及其极值—变分法泛函可以简单的理解为“函数的函数”，它一般是以积分的形式出现。在求一般函数的极值时微分和导数起着非常重要的作用，在研究泛函极值时，变分法同样起着很重要的作用[4]9。求解泛函极大值和极小值的问题一般称之为变分问题，求解泛函极值的方法成为变分法。因

6、此，变分法是研究和分析泛函极值的一种十分重要的方法，在最优控制中，泛函一般是指控制系统所期望得到的某些目标或者准则，常被称为“目标函数”或者“指标函数”等[5]。到现在变分法已经能基本解决实际生产和工程和中的大部分优化问题，提出了解决泛函固定端点、可变端点等问题的诸多理论，并给与分析与证明。这些领域应用于控制领域的最优控制问题，已经可以解决很大一部分的最优控制问题[6]。在此，变分法是研究泛函数极值的一种经典方法。我们应用变分法的结果来解决最优控制问题。2.1泛函的变分设泛函为连续泛函，泛函的增量可表示为如上面所提到的，在我们研究的控制问题中，一般会选择式中，t为时间，

7、为初始时间，为终端时间，x(t)为状态向量，u(t)为输入控制向量，x()为状态向量的终端状态，L和都是标量函数，上式常被称为积分型指标函数[7]。2.2泛函的极值(1)泛函极值的定义如果泛函在任意一条与y=相近的曲线上的值不小于（或者不大于），即（或者），则称泛函J在曲线上上取到极小值（或者极大值），曲线称为泛函J的极小值曲线（或者极大值曲线）[8]。(2)泛函极值的必要条件若泛函在y=上取得极小（极大）值，则在曲线y=上有：。92.3无约束条件的泛函的极值(1)端点固定的情况定理：设x(t)的初始点为，终点为，则使泛函取极值的必要条件