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1、孤子方程的求解方法及Lax可积系统研究1、相关定义1.1、随机微分方程相关的基本概念众所周知,常微分方程的一般形式是:=dx(t)f(t,x(t))dt,t∈J(2-1)只要是确定依赖于初始状态的时间系统,通常情况下都可表示为常微分方程的模型。然而,在存在随机扰动的现实生活中会出现不确定性,方程(2-1)不再是描述这类系统正确的有效工具。所以我们要对方程(2-1)进行适当的改变使其能够反映现实生活中的现象(即带随机干扰)。方程(2-1)的加入随机干扰项,转化为下面的随机微分方程(SDE):dx(t)=f(t
2、,x(t))dt+g(t,x(t))dω(t),t∈J(2-2)其中f:J×d→d与g:J×d→d×m(f和g都是普通函数)是给定的Borel可测函数,ω=(ω1,ω2,,ω)Tn是给定的m维标准布朗运动。定义2.1任一族随机变量{Xt:t∈T}称为以T为参数集的随机过程[26]。定义2.2一个随机过程{Bt,t≥0}称为布朗运动,如果它满足:(1)B0=0,{Bt,t≥0}是独立的增量过程,即对任意互不相交的区间(s1,t1],(s2,t2],,(sn,tn],相应的增量Bt1Bs1,Bt2Bs2,,Bt
3、nBsn都互相独立;(2)对于任意s≥0,t>0,增量Bt+sBsN(0,Dt);(3)对每一个样本点ω,样本轨道Bt(ω)是连续函数(作为t的函数)[36]。1.2、二元扰动状态概念及扰动方程2.1原理2.1原理在不同组分组成的混合态的材料中,各组分相互作用所表现的宏观行为可以由通过称为挠动函数D联系起来的组分响应来表达。就变形工程材料的力学响应而言,这些组分视为参考态。对于同种材料单元,它的起始连续或相对无扰动态(RND)被视为参考态。而对于某个相对无扰动态,由于粒子相对的运动或裂纹扩展等因素而产生的材
4、料的转移而形成的完全扰动态(RCD)也是参考态。关于挠动状态概念的示意图如图2-1所示。图2-1(a)~2-1(c)分别表示带有初始扰动的相对无扰动态、连续被扰动的中间态和”最终破坏”的相对完全扰动态。在材料受到连续扰动的过程中,扰动微粒连接成扰动块,从而导致局部的失稳。于是在变形的过程中,有关的力学量将不再保持光滑,如图2-1(d)所示。下面的例子可以直观地理解关于参考态的概念。如果一个固体被加热到一定的温度,它就熔化或者液化,那么对应的固态和液态就表现为两种参考态。如果液体被继续加热,那么它就成为气体。
5、于是对应的液态和气态也代表参考态。如果一块冰融化成水,那么对应的冰态和水态也就被当作参考态。首先考虑同种材料单元变形的二元扰动态概念,然后考虑由一种以上材料组合的材料单元变形的扰动态。材料具有渐进的无扰动态和完全扰动态的应力-应变关系如图2-2所示。绝对无扰动态被认为是在理论密度最大时材料的状态。然而,材料可以在其他的密度状态下存在,而这状态可以取作为相对无扰动状态。相对无扰动态的选择取决于材料的特性和合理的实验数据。例如,没有微裂纹存在的连续体的线弹性响应可以定义为受微裂纹扩展影响的非线弹性响应的相对无扰
6、动态,如图2-2(a)所示;没有摩擦的弹塑性行为可以定义为关于有摩擦的图2-1扰动态概念下的相对无扰动和相对完全扰动态(a)起始状态(相对无扰动);(b)中间态;(c)”破坏”(相对完全扰动);(d)局部失稳下的应力—应变曲线。转换转换扰动微粒扰动块相对无扰动区相对完全扰动区σε(a)(b)(c)(d)O6弹塑性行为的相对无扰动态响应(如图2-2(b)所示);弹塑性响应可以定义为有微裂纹扩展和软化行为的相对无扰动态(如图2-2(c)所示)。相对完全扰动态的渐进态(RCD)∞是在外荷载作用下,材料达到的最终状
7、况。材料在最终状况的行为是实验室不可测量的,不过可以由近似确定的渐近值定义,与此对应的状态称为准RCD态,简称为RCD态(如图2-2所示)。1.3、随机微分方程基本定义一维It型的随机微分方程一般具有以下形式dXtXt,tdtXt,tdBt(2-1)其中,X0x0,t0,T,Bt表示标准的一维布朗运动。随机微分方程(2-1)使用布朗运动描述噪声干扰项,而布朗运动的样本函数在任意小的区间内都不具有有界变差,是几乎处处不可导的,所以方程(2-1)仅仅是对随机微分方程”形象的描述”,并不具有实际意义,真正的随机微
8、分方程基本形式应使用It积分给出XtX0t0Xsdst0XsdBs(2-2)接下来简单的介绍布朗运动及It积分的定义和些基本性质。1.4、专利权利要求解释的概念和必要性(一)专利权利要求解释的概念①国家知识产权局法条司:《新专利法详解》,知识产权出版社2001年版,第304页。②中华人民共和国国家知识产权局:《专利审查指南》,知识产权出版社2010年版,第364页。③EleetrieandMusiealIndus
