离散数学-代数系统部分学习辅助材料-大连理工大学软件学院

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1、1.代数系统的基本概念该部分有三个需要注意的知识点：1.1什么是代数系统？代数系统的表征形式是一个序偶，其中S是非空元素的集合，叫做该代数系统的定义域，是运算的集合。

2、S

3、称为代数系统的阶。要判断一个给定的系统是否是代数系统，需要验证：A．定义的运算满足映射的唯一性（符合函数的定义）B．所有运算都是封闭的。例：不是一个代数系统，因为自然数集合下的运算不满足封闭性；设S是一个非空集合，那么是一个代数系统，其中为S的幂集。1.2子代数系统如果是一代数系统，取S的一个子集，如果在所有的运算上都满足封闭性，那么也是一个代数系统，称之为的子代数系统。要判断是否是的子代数系统，需

4、要验证：A．，并且两个代数系统运算集一样。B．所有运算都是封闭的。例：是代数系统的子代数系统。其中N表示自然数集合，I表示整数集合。1.3代数系统的同类型设有两个代数系统，如果可以在两者的运算集合上构造一个双射，并且每个原像和对应的像点运算的元数相同，那么就说代数系统U和V同类型。同类型的概念是讨论同态和同构的基础。2．代数系统中运算的性质设代数系统为2.1运算的定律结合率：交换率：分配率：（对*满足左分配率）（对*满足右分配率）吸收率：（对*满足左吸收率）（对*满足右吸收率）等幂率：可约率：设为零元（左可约率）（右可约率）2.2运算中的特异元素么元：（为关于的左么元

5、）（为关于的右么元）零元：（为关于的左零元）（为关于的右零元）等幂元：（为关于的等幂元）逆元：（设为关于的么元）（y为x关于的左逆元）（y为x关于的右逆元）可约元：（设）（x是关于的左可约元）（x是关于的左可约元）注意：能寻找到常见代数系统中的特异元素代数系统么元零元等幂元逆元可约元0无0相反数任何元素101，0除0外，为其倒数除0外的任何元素S任何元素除S外，其余元素均不可逆SS任何元素除外，其余元素均不可逆任何元素除T外，其余元素均不可逆任何元素除F外，其余元素均不可逆无其反函数是从n个元素到自身的双射函数恒等函数所有双射函数2.3从运算表中判断运算性质的方法给定

6、代数系统1．封闭性：运算表中的每个元素都属于S。2．交换律：运算表关于主对角线对称。3．等幂律：运算表主对角线上的元素与对应行或者对应列的表头元素相同。4．零元：x是关于的左零元，当且仅当运算表中x所对应的行中每个元素都与x相同；x是关于的右零元，当且仅当运算表中x所对应的列中每个元素都与x相同。5．么元：x是关于的左么元，当且仅当运算表中x所对应的行中每个元素都与对应的行表头元素相同；x是关于的右么元，当且仅当运算表中x所对应的列中每个元素都与对应的列表头元素相同。6．逆元：x为关于的左逆元，当且仅当x所在行的元素中至少有一个么元，y为关于的右逆元，当且仅当y所在列

7、的元素中至少有一个么元。x与y互为逆元，当且仅当运算表中x行y列及y行x列中的元素都为么元。例：给定代数系统，，找出下列运算表的特异元素。么元：a；没有零元；等幂元：a，d，e；b、c互为逆元；d是b的左逆元。不满足交换律，不满足等幂律。3．代数系统的同态与同构代数系统的同态和同构是建立在同类型的基础上，在两个代数系统的定义域上构造一个映射，满足运算的像等于像的运算。3.1基本概念同态：给定代数系统，，如果这两个代数系统是同类型的，而且可以构造一个函数，满足，那么我们说V1和V2是同态的，而称为从V1到V2的同态映射。如果用一个图比较直观的观察同态，可以表述如下：xy

8、xyf(x)f(y)f(x)f(y)S2S1f第一个代数系统中的运算第二个代数系统中的运算也就是如果运算是个一元运算，假设代数系统是，，为其对应的同态映射，那么直观图如下：xx’f(x)~f(x)S2S1f也就是由于f的类型不同，可以产生不同的映射：1．f是满射，f为两个代数系统之间的满同态映射；2．f是单射，f为两个代数系统之间的单一同态映射；3．f是内射，且两代数系统相同，则f为两个代数系统之间的自同态映射；4．f是双射，f为两个代数系统之间的同构映射；5．f是双射，且两代数系统相同，f为两个代数系统之间的自同构映射。3.2同态与同构的求解同态与同构部分要求解的问

9、题一般分为两种：一是求解两个代数系统之间的同态、同构映射；二是证明某一个函数f是否是两个代数系统之间的同态、同构映射。3.2.1求解两个代数系统之间的同态、同构映射一．判定两个代数系统是否同态，并找出一个同态映射做题步骤：（任何一步不满足，则不同态）1．看是否满足同态的前提：两个系统是同类型的；2．找到一个映射，所有元素满足运算的像等于像的运算。如果遇到这类题目，一定非常简单，因为需要构造映射，这个映射一定是显而易见容易看出的。例：是否可以构造代数系统到的同态映射？解：首先，这两个代数系统都只有一个二元运算，因此是同类型的。构造函数任取两个元素（1）