数值分析习题集及答案

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1、2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：，故具有3位有效数字。2具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需，，即3已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？（有效数字的计算）解：，，而，故至少具有2位有效数字。故至少具有2位有效数字。4设，的相对误差为，求的误差和相对误差？

2、（误差的计算）解：已知，则误差为则相对误差为5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：绝对误差限为422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编相对误差限为6设的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算）解：，7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）解：球体积为，欲使，必须。8设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的

3、比较选择）解：如果初始误差为，若是向前递推，有可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。如果是向后递推，其误差为可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编第二章插值法姓名学号班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1已知，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）解法一（待定系数法）：设，由插值条件，有解得：。故。解法二（基函数法）：由插值条件，有2已知，用线性插值求的近似值。（拉格朗日线性插值）解：由插值节点与

4、被插函数，可知，，，其线性插值函数为的近似值为。3若为互异节点，且有试证明。（拉格朗日插值基函数的性质）解：考虑辅助函数，其中，，。422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编是次数不超过的多项式，在节点（）处，有这表明，有n+1个互异实根。故，从而对于任意的均成立。4已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）解：由插值条件，其抛物线插值函数为将代入，计算可得：。其余项为：其中，故误差的上界为：。5用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式,并近似计算及其绝对误差与相

5、对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编绝对误差为：相对误差为：余项为：，其中，其余项的上界为：比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。（均差的计算）解：采用列表法来计算各阶均差，有xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15从表中可查得：。xy一阶均差二阶均差482

6、11072/3346186故。其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编7设求之值，其中，而节点互异。（均差的计算）解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有而，故。8如下函数值表012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解：先构造均差表xf(x)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11/4故。9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，。（插值多项式的构造）解法一（待定系数法）

7、：设，则，由插值条件，有解得：。故解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编xy一阶差商二阶差商三阶差商122422431312852故10构造一个三次多项式，使它满足条件（埃尔米特插值）。解：设，利用插值条件，有解得：。11设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。解：，，，，设，解得：，，，。422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编故。，其中，。12若，

8、试证明：（插值余项的应用）解：以为插值条件，作线性插值多项式，有其余项为故。13设求使；又设，则估计余项的大小。（插值误差的估计）解：由插值条件，有解得：从而其余项为422008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编第三章函数逼近姓名学号班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1设，求于上的线性最佳平方逼近多项式