指数函数模型的魅力

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1、指数函数模型的魅力鱼台一中张丽指数函数模型的魅力指数函数是基本初等函数之一，它不仅是一种重要的初等函数，同时，它在疾病控制与统计、工业生产、计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学、物理学等领域有着广泛的应用.一、地球年龄的测算公元1896年,法国物理学家贝克勒尔发现,铀的化合物能放射出一种肉眼看不见的射线,这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光。这种现象引起了女科学家玛丽·居里的注意。居里夫人想,该不是只有铀才能发出射线吧!经她悉心研究,终于又发现了一些放射性更强的元素。1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证

2、实，放射生物质在放出射线的同时，本身有一部分“蜕变”为其他物质。这种蜕变的规律是：一种物质放出射线后，这种物质的量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢。物质所剩的量与时间成指数函数关系。这种函数我们还没有学过，但可以从函数的图象中来认识它的变化规律。下图为由图象我们可以发现：镭的质量由m0缩减到1/2m0。约需1620年，由1/2m0缩减到1/4m0约需3240-1620=1620（年），由、1/4m0缩减到1/8m0约需4860-3240=1620（年），即镭的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量—1620年，

3、一般把1620称为镭的半衰期。经过科学家不懈努力,人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律:m=m0e－kt.下面我们计算一下,究竟需要多长时间,才能使放射性物质蜕变为原来的一半.为此,令m=m0,则=e－kt,从而.这是一个常量,它只与放射性物质本身有关,称为该放射性物质的半衰期.下表列的是一些重要放射性物质的半衰期.元素同位素符号半衰期钍Th2321.39×1010年铀ⅠU2384.56×109年铀ⅡU2342.48×105年镭Ra2261620年钋ⅠPo210138天钋ⅡPo2140.16秒钋ⅢPo2161.5×10－

4、4秒铀是最常见的一种放射性物质,由上表得知,它的半衰期为45亿6000万年.也就是说,过45亿6000万年之后,铀的质量剩下原来的一半.由于铀蜕变后,最后变成铅,因此,我们只要根据岩石中现在含多少铀和多少铅,便可以算出岩石的年龄.科学家们正是利用上述的办法,测得地球上最古老岩石的年龄为30亿年.当然,地球年龄要比这更大一些,估计有45～46亿年.二、“特拉波科罗”号事件你记得儒勒·凡尔纳书里的竞技大力士马蒂夫吗？“头大身高，胸膛像铁匠的风囊，腿像粗壮的木柱，胳膊像起重机，拳头像铁锤……”这位大力士的功劳在《马蒂斯·桑多

5、尔夫》这部小说里叙述得很多，可是使读者印象最深的，大概是他用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事。关于这件事，小说的作者是这样告诉我们的：已经移去了两旁撑住船身的支持物,船准备下水了.只要把缆索解开,船就会滑下去.已经有五六个木工在船的龙骨底下忙着,观众满怀好奇心注视着这件工作.这时候却有一艘快艇绕过岸边凸出的地方,出现在人们的眼前.原来这艘快艇要进港口,必须经过“特拉波科罗”号准备下水的船坞前面.所以一听见快艇发出信号,大船上的人为了避免发生意外,就停止了解缆下水的操作,让快艇先过去.假使这两条船,一条横着,

6、另一条用极高的速度冲过去,快艇一定会被撞沉的.工人们都停止了工作,所有的眼睛全都注视着这只华丽的船,船上的白色篷帆在斜阳下象镀了金一样.快艇很快就出现在船坞的正前面.船坞上成千的人都出神地看着它.突然听到一声惊呼,“特拉波科罗”号正当快艇的右舷对着它的时候,开始摇摆着滑下去了.两条船就要相撞了!已经没有时间、没有方法能够防止这场惨祸了.“特拉波科罗”号很快地斜着向下面滑去……船头上卷起了因摩擦而起的白雾,船尾已经没入了水.突然出现了一个人(马蒂夫),他抓住“特拉波科罗”号前部的缆索,用力地拉,几乎把身子弯得接近了地面.

7、不到一分钟,他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上.他冒着被摔死的危险,用超人的气力,用手拉住缆索大约有10秒钟.最后,缆索断了.可是这10秒钟时间已经很足够,“特拉波科罗”号进水以后,只轻轻擦了一下快艇,就向前驶去!快艇脱险了.至于这个使这件发生得很快的意外事件没有造成惨祸的人──当时甚至别人来不及帮助他──就是马蒂夫。假使小说的作者听到说，这样的功劳并不需要一个像马蒂夫那样的“力大如虎”的巨人，而是每一个机智的人都能干的话，那他一定会非常惊奇。力学告诉我们，缠在桩上的绳索，在滑动的时候，摩擦力可以达到极大的程度。绳索绕的

8、圈数越多，摩擦力也就越大。摩擦力增长的规律是：如果因数按照算术级数加多，摩擦力就按照几何级数增长。所以就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。在河边的轮船码头上，常常有一些少年，就用这个方法使载着几百个乘客的轮船靠码头。原来在这里帮助他们的，并不是他们异常的臂力，而是绳