线性代数 历届考题 东南大学

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1、试卷一一（33%）填空题（表示单位矩阵）：1．设，，则；；2．设矩阵，，则行列式；3．若向量组，则当参数时，线性相关；4．矩阵的伴随矩阵=；5．设矩阵及均可逆，，则；6．分块矩阵的逆矩阵为；7．设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是维的；8．与向量，均正交的一个单位向量为；9．已知矩阵，，则当数满足条件时，是正定的；10．若实对称矩阵有两个不同的特征值,且则当参数满足条件时，矩阵是正定的。二（12%）求矩阵方程的解，其中，三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征

2、值的特征向量，是其相应于特征值的特征向量。1.求。2.若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。四（12%）设线性方程组1．问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？2．当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。五（12%）矩阵。1.求一2.问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？六（12%）设实对称矩阵1.求参数；2.求一正交矩阵七（7%）证明题：1．设是矩阵的两个互异的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是的属于的特征向量。证明：线性无关。2．已知阶方阵相似于

3、对角阵，并且，矩阵的特征向量均是矩阵的特征向量（注：，的特征值未必相同）。证明．试卷二一．（24%）填空题：1．假设矩阵，则。2．假设向量组A：，则当参数满足条件时，向量组A的秩为1；时A的秩为2；时A的秩为3。3．若向量是矩阵的特征向量，则。4．设矩阵，，且，则参数满足条件。5．若矩阵与对角阵相似，则满足条件。6．若是正交矩阵，则满足条件。7．若对满足条件的实对称矩阵，都是正定矩阵，则实数必定满足条件。二．（8%）求矩阵的行列式的值。三．（15%）已知矩阵，向量。1．若是线性方程组的解，试求的值

4、，并求这时的通解；2．若有无穷多组解，但不是的解，求的值。四．（15%）解矩阵方程。其中，。一．（15%）设二次型1．写出二次型的矩阵；2．求正交变换将化成标准形，并写出相应的标准形。二．（12%）设3阶矩阵的特征值是（二重）和，且，是的相应于特征值2的特征向量，是的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵及。三．（5%）已知矩阵，。问：当参数满足什么条件时，矩阵方程有解，但无解？四．（6%）证明题：1．已知向量组可以由线性表示。若向量组的秩为2，证明：线性无关。2．设2阶方阵，且，。若不全为零，证明：

5、不与任何对角阵相似。试卷三一．（27%）填空题1．若矩阵,，且，则的值分别为　；2．设对任意列向量，，则矩阵；3．设３阶方阵，。若的行列式，则矩阵的行列式；4．设为阶可逆方阵，阶矩阵的逆矩阵为；5．齐次线性方程组的一个基础解系为；6．若二次型是正定的，则参数的取值范围是　　；7．若是正交矩阵,则参数的值分别为；8．假设３阶矩阵的特征值为。则行列式的值为；9．若实二次型的矩阵分别为，则的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数满足　。二（14%）假设阶矩阵满足。1．证明矩阵及均可逆，并分

6、别求及；2．证明：若，矩阵肯定不可逆。三（14%）假设矩阵，。已知线性方程组有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解（要求用的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。四（15%）已知矩阵相似于对角阵。1．求参数的值，并求的特征值及相应的特征向量；2．求一可逆矩阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵；3．问：是否存在正交矩阵，使得为对角阵？试说明你的理由。五（12%）已知矩阵，矩阵，求矩阵，使得。六（12%）假设3维向量；。已知向量组与向量组等价。1．求的秩及其一个最大线性无关组，并求参数的

7、值；2．令矩阵，求满足的矩阵。七（6%）假设阶矩阵满足。1．证明：关于矩阵的秩有等式，并且相似于对角阵；2．若，试求行列式的值。试卷四一．（30%）填空题1.设,则；2.若矩阵满足，则的逆矩阵；3.若向量组的秩为2，则参数满足条件；4.假设3阶矩阵的特征值为，矩阵，其中，是的伴随矩阵，则的行列式；5.相似于对角阵的充要条件是满足条件；6.若与相似，则；7.设是3阶实对称矩阵的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若不可逆，则的另一个特征值为，相应的一个特征向量为；8.3元非齐次线性方程组的系数矩阵的

8、秩为2,已知是它的3个解向量,其中,则该方程组的通解是；9.若4阶矩阵的秩都等于1，则矩阵的行列式。二．（10%）计算下述行列式的值。三．（15%）设线性方程组。问：当参数取何值时,线性方程组有唯一解？当参数取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解（用向量形式表示）。四．（12%）假设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求。一．（10%）已知向量组线性无关，问：参数满足什么条件时，向量组线性相关？二．（15%）已知二次型，1.写出二次型的矩阵；2.求一