弯曲剪切计算

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1、10弯曲应力本章主要研究梁弯曲时横截面上的正应力和正应力强度条件、梁的剪应力和剪应力强度条件、梁的主应力、提高梁抗弯能力的措施。本章提要本章内容10.1梁弯曲时横截面上的正应力10.2梁的正应力强度计算10.3提高梁抗弯强度的途径10.4梁的剪应力和剪应力的强度计算10.5梁的主应力10.1梁弯曲时横截面上的正应力图10.1(a)所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图如图10.1(b)、(c)所示。由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。在梁的CD段内，各横截面

2、上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。图10.1取一矩形截面等直梁，先在其表面画两条与轴线垂直的横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ，以及两条与轴线平行的纵线ab和cd(图10.2(a))。然后在梁的两端各施加一个力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形(图10.2(b))。可以观察到如下现象：（1）梁变形后，横线Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ仍为直线，并与变形后梁的轴线垂直，但倾斜了一个角度。（2）纵向线变成了曲线，靠近顶面的ab缩短了，靠近底面的cd伸长了。10.1.1现象与假设根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：(1)平面假设假设梁的

3、横截面变形后仍保持为平面，只是绕横截面内某轴转了一个角度，偏转后仍垂直于变形后的梁的轴线。(2)单向受力假设将梁看成是由无数纵向纤维组成，假设所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，互相之间无挤压。图10.2(1)变形的几何关系将梁变形后截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ之间的一段截取出来进行研究(图10.3)。若把OO′纵线看成材料的一层纤维，则这层纤维既不伸长也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图10.4所示。纵线cd的线应变为10.1.2纯弯曲梁的正应力(2)物理关系由于假设纵向纤维之间无挤压，只受到单向轴向拉伸或压缩，所以在正应力不超过比

4、例极限时，由拉压虎克定律可得σ=Eε=Ey/ρ对于确定的截面，E与ρ均为常数。式(b)说明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，即应力沿截面高度方向成线性规律分布，如图10.5所示。(3)静力关系在横截面上取一微面积dA，其微内力为σdA，梁发生纯弯曲时，横截面上内力简化的结果只有弯矩M，如图10.6所示。计算正应力时，M和y均可代入绝对值，正应力σ的正负号直接由梁的变形来判断。以中性层为界，梁变形后凸出边的正应力为拉应力，取正值；凹入边的正应力为压应力，取负值(图10.7)。【例10.1】一悬臂梁的截面为矩形，自由端受集中力P

5、作用(图10.8(a))。已知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上a点的正应力及固定端截面上的最大正应力。【解】(1)计算固定端截面上的弯矩MM=Pl=4×250kN·mm=1000kN·mm(2)计算固定端截面上a点的正应力Iz=bh3/12=40×603/12mm4=72×104mm4σa=M/Izya=13.9MPa(3)计算固定端截面上的最大正应力固定端截面的最大正应力发生在该截面的上、下边缘处。由梁的变形情况可以看出，上边缘产生最大拉应力，下边缘产生最大压应力，其应力分布如图10.8(b

6、)所示。最大正应力值为σmax=M/Iz·ymax=41.7MPa【例10.2】简支梁受均布荷载q作用，如图10.9(a)所示。已知q=3.5kN/m，梁的跨度l=1m，该梁由10号槽钢平置制成。试计算梁的最大拉应力σlmax和最大压应力σymax以及它们发生的位置。【解】(1)求支座反力由对称性有RA=RB=ql/2=5.25kN(2)作出弯矩图，如图10.9(b)所示。最大弯矩发生在跨中截面，其值为Mmax=ql2/8=0.44kN·m(3)由型钢表查得10号槽钢截面Iz=25.6cm4=25.6×104mm4y

7、1=1.52cm=15.2mmy2=3.28cm=32.8mm(4)计算正应力最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处σlmax=Mmax/Iz·yz=56.05MPa最大压应力发生在跨中截面的上边缘处σymax=Mmax/Iz·y1=25.98MPa图10.3图10.4图10.5图10.6图10.7图10.8图10.8图10.910.2梁的正应力强度计算在进行梁的强度计算时，必须算出梁的最大正应力值。对于等直梁，弯曲时的最大正应力一定在弯矩最大的截面的上、下边缘。该截面称为危险截面，其上、下边缘的点称为危险点。(1)对于中性

8、轴是截面对称轴的梁最大正应力的值为σmax=Mmax/Wz式中Wz称为抗弯截面系数10.2.1