递归数列通项公式求法

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1、递归数列通项公式的求法　确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。基础知识定义：对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程，由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；(2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；(3)已知数列的前项和为，则。二．迭代法迭

2、代恒等式：；迭乘恒等式：，()迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；类型二：已知，求通项；三．待定系数法类型三：已知，求通项；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。证明：设特征根为，则所以====即是以为公比，首项为的等比数列。所以，所以(1)当时，则其通项公式为，其中，；(2)当时，则其通项公式为，其中五．代换法代换法主要包括三角代换、分式代换与

3、代换相消等，其中代换相消法可以解决以下类型五：已知，，求通项。六．不动点法若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。类型六：(1)已知，且，求通项；(2)已知，求通项；七．数学归纳法八．构造法典例分析例1．数列{an}中，a1=1,an+1>an,且成立，求。例2．已知正数数列满足：，其中，求。例3．已知数列{an}满足：，求。例4．已知，证明：该数列中的一切数都是整数。例5．已知，求。例6．数列满足，且，求的通项公式。例7．已知，求。例8．数列满足，求。例9．已知，求的通项公式。例10．已知数列满足：，且，求

4、的通项公式。例11．若数列的前项和为，且满足，求的通项公式。拓展：若数列的前项和为，且满足，求的通项公式。(参考答案：，其中)例12．设数列满足：，且，，证明：(……)是完全平方数。练习题：1．已知数列满足，求数列的通项2．已知数列满足，求数列的通项3．已知数列满足，求数列的通项4．已知数列满足，求数列的通项练习答案：1．解：其特征方程为，解得，令，由，得，2．解：其特征方程为，解得，令，由，得，3．解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，4．解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，