建筑力学14-组合变形

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1、第十一章杆件在组合变形下的强度计算1,掌握用叠加法计算组合变形,2,熟悉斜弯曲时横截面上的内力、应力和强度计算。3,熟悉拉伸(压缩)与弯曲组合变形的强度计算、4,偏心压缩杆件的强度计算,5,掌握截面核心的概念。11.1组合变形的概念在实际工程中,构件的受力情况是复杂的,构件受力后的变形往往不仅是某一种单一的基本变形,而是由两种或两种以上的基本变形组合而成的复杂变形,称为组合变形。例如,图11.1(a)所示的屋架檩条;图11.1(b)所示的空心墩;图11.1(c)所示的厂房支柱,也将产生压缩与弯曲的组合变形。11.1.1组合变形的概念图11.1解决组合

2、变形强度问题,分析和计算的基本步骤是:首先将构件的组合变形分解为基本变形;然后计算构件在每一种基本变形情况下的应力;最后将同一点的应力叠加起来,便可得到构件在组合变形情况下的应力。试验证明,只要构件的变形很小,且材料服从虎克定律,由上述方法计算的结果与实际情况基本上是符合的。11.1.2组合变形的解题方法11.2斜弯曲对于横截面具有对称轴的梁,当横向力作用在梁的纵向对称面内时,梁变形后的轴线仍位于外力所在的平面内,这种变形称为平面弯曲。如果外力的作用平面虽然通过梁轴线,但是不与梁的纵向对称面重合时,梁变形后的轴线就不再位于外力所在的平面内,这种弯曲称

3、为斜弯曲。如图11.2(a)所示的矩形截面悬臂梁,集中力P作用在梁的自由端,其作用线通过截面形心,并与竖向形心主轴y的夹角为φ。将力P沿截面两个形心主轴y、z方向分解为两个分力,得Py=PcosφPz=Psinφ分力Py和Pz将分别使梁在xOy和xOz两个主平面内发生平面弯曲。11.2.1外力的分解图11.2在距自由端为x的横截面上,两个分力Py和Pz所引起的弯矩值分别为Mz=Py·x=Pcosφ·x=McosφMy=Pz·x=Psinφ·x=Msinφ该截面上任一点K(y,z),由Mz和My所引起的正应力分别为σ′=Mz·y/Iz=yMcosφ/I

4、zσ″=My·z/Iy=zMsinφ/Iy11.2.2内力和应力的计算根据叠加原理,K点的正应力为σ=σ′+σ″=Mz·y/Iz+My·z/Iy=M(ycosφ/Iz+zsinφ/Iy)式中Iz和Iy分别是横截面对形心主轴z和y的惯性矩。正应力σ′和σ″的正负号,可通过平面弯曲的变形情况直接判断,如图11.2(b)所示,拉应力取正号,压应力取负号。图11.2因为中性轴上各点的正应力都等于零,设在中性轴上任一点处的坐标为y0和z0,将σ=0代入式(12.1),有σ=M(y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy)=0则y0cosφ/Iz+z0sinφ/Iy

5、=0上式称为斜弯曲时中性轴方程式。11.2.3中性轴的位置从中可得到中性轴有如下特点:(1)中性轴是一条通过形心的斜直线。(2)力P穿过一、三象限时,中性轴穿过二、四象限。反之位置互换。(3)中性轴与z轴的夹角α(图11.2(c))的正切为tanα=|y0/z0|=Iz/Iytanφ从上式可知,中性轴的位置与外力的数值有关,只决定于荷载P与y轴的夹角φ及截面的形状和尺寸。图11.2进行强度计算,首先要确定危险截面和危险点的位置。危险点在危险截面上离中性轴最远的点处,对于工程上常用具有棱角的截面,危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示的悬臂梁,固定端

6、截面的弯矩值最大,为危险截面,该截面上的B、C两点为危险点,B点产生最大拉应力,C点产生最大压应力。若材料的抗拉和抗压强度相等,则斜弯曲的强度条件为σmax=Mzmax/Wz+Mymax/Wy≤[σ]11.2.4强度条件对于不同的截面形状,Wz/Wy的比值可按下述范围选取:矩形截面:Wz/Wy=h/b=1.2~2;工字形截面:Wz/Wy=8~10;槽形截面:Wz/Wy=6~8。【例11.1】跨度l=4m的吊车梁,用32a号工字钢制成,材料为A3钢,许用应力[σ]=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN,其作用线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°

7、,如图11.3所示。试校核吊车梁的强度。【解】(1)荷载分解将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kNPz=Psinφ=30sin15°kN=7.76kN(2)内力计算吊车荷载P位于梁的跨中时,吊车梁处于最不利的受力状态,跨中截面的弯矩值最大,为危险截面。图11.3该截面上由Py在xOy平面内产生的最大弯矩为Mzmax=Pyl/4=29×4/4kN·m=29kN·m该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为Mymax=Pzl/4=7.76×4/4kN·m=7.76kN·m(3)强度校核由型钢表查得32a号工字钢

8、的抗弯截面系数Wy和Wz分别为Wy=70.8cm3=70.8×103mm3Wz=692.2cm3=692.2

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