数学思想方法几次重大转折

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1、数学思想方法的几次重大转折历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。1.从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。在算术解题

2、法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。解方程是古典(经典)代数最基本的内容。方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术

3、解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，·对二次方程的求解，导致虚数的发现；·对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；·对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；·应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；·等等。显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)2.从常量数学到变量数学算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。运用常量数学可

4、以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。可是，对于描述运动和变化，却是无能为力的，于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分-变量数学。从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。自然科学中研究变量的几个典型问题。数学的发展始终受着自然科学的影响。特别是，自然科学通过向数学提出各种重大的问题，在一定程度上推动着数学的发展。变量数学就是在回答十六、十七世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287-212)等人在解答数学内部的某些问题时，已经十分接近了微分和积分的计算，

5、这些计算实际上给出了微积分的原始雏型。但是，微积分理论却没能在阿基米德的时代确立，一直到十七世纪才得以完成。其原因之一，就是十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题，常量数学大都可以解决，对变量数学的需求缺乏迫切性。然而，到了十七世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学的桎梏下解放出来，开始大踏步地前进。这时，生产和自然科学部门，向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型：第一，描述非匀速运动物体的轨迹。开普勒在总结大量观测资料的基础上，发现行星围绕太阳运

6、动的轨迹是椭圆；伽利略(G．Galilei，1564一1642)明确提出，各种抛射物体诸如炮弹和石头的运动轨迹是抛物线。他们的工作引起了人们对圆锥曲线重新研究。圆锥曲线本来早在古希腊时代就被阿波罗尼(Apollonius，约公元前262-190)等人认真研究过，不过在十六世纪之前人们只是出自纯数学的兴趣，而且是用静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是由平面从不同角度截锥体而来的。行星绕日运动和抛体运动则要求人们用运动和变化的观点来研究圆锥曲线，即把曲线看成是经物体运动而生成且随时间而变化着的轨迹。第二，求变速运动物体的速度或路程。已知变速运动的物

7、体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体运动的速度或加速度，求某段时间内经过的路程。求物体运动的速度或路程是一个古老问题，但以前人们处理的大都是匀速运动的情况，对于变速运动，只能采用求平均速度的方法给出问题的近似解。自然科学的发展则要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度，或在某一段时间内所经过的路程。这就使传统的数学方法完全不适用了。第三，求曲线在任一点的切线。这个问题主要来源于光学和力学的需要。在光学中，要研究光线在不同介质的通道，这就涉及到光线在曲面上的反射角或进入另一个介质的折射角，而这些角是光线同曲

8、线的法线所夹的角，法线又是垂直于切线的，所以问题就归结于求出曲线的切线；在力学中，运动物体在它轨迹上任一点的